フォン・ノイマンエントロピーとエンタングルメント・エントロピー

密度行列の固有値から $S (ρ) = - Tr ρ lo g ρ$ を求め、2 体純粋状態の約密度行列のエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）を計算できる

前提

シュミット分解（大学院物理量子情報・量子計算）
エントロピー（大学数学情報理論・符号理論）

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算数中学高校大学大学院

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エントロピー（大学数学情報理論・符号理論）

説明

フォン・ノイマンエントロピー $S (ρ) = - Tr ρ lo g ρ$ は、量子状態 $ρ$ がどれだけ「混ざっているか」（どれだけ情報が欠けているか）を測る量で、密度行列の固有値から計算できます。純粋状態では $0$ 、 $d$ 次元の完全混合状態 $\frac{I}{d}$ で最大値 $lo g d$ になります。2 体の純粋状態では、片方の約密度行列のエントロピー $S (ρ_{A})$ がエンタングルメント・エントロピーと呼ばれ、2 つの系がどれだけもつれているかの標準的な尺度として、量子情報や多体系・場の理論でのエンタングルメントの議論に使われます。

なぜそうしてよいのか

密度行列 $ρ$ はエルミートで固有値 $p_{k} \geq 0$ , $\sum_{k} p_{k} = 1$ をもつので、ユニタリー行列 $U$ を用いて $ρ = U diag (p_{1}, \dots, p_{d}) U^{†}$ と対角化できます。行列の関数は固有値に関数を施して $f (ρ) = U diag (f (p_{1}), \dots, f (p_{d})) U^{†}$ と定めます（多項式なら $ρ^{n} = U diag (p_{k}^{n}) U^{†}$ と一致する自然な定義です）。トレースは $U$ の取り替えで変わらないので $S (ρ) = - Tr ρ lo g ρ = - k \sum p_{k} lo g p_{k}$ となり、固有値の分布 ${p_{k}}$ のシャノン・エントロピー（底が $e$ なので単位はナット。底 2 で測ったビット単位の値の $lo g 2$ 倍）と同じものです。 $p_{k} = 0$ の項は $0 lo g 0 = 0$ と約束します。 $ρ$ を固有ベクトルの基底で測れば結果 $k$ が確率 $p_{k}$ で出るので、 $S$ は「状態がどの固有状態かについての不確かさ」を表します。純粋状態は固有値が $1, 0, \dots$ なので $S = 0$ 、 $\frac{I}{d}$ は $S = lo g d$ です。

2 体純粋状態 $∣ ψ ⟩$ のシュミット分解を $∣ ψ ⟩ = \sum_{k} s_{k} ∣ a_{k} ⟩ ∣ b_{k} ⟩$ とすると、 $ρ_{A} = \sum_{k} s_{k}^{2} ∣ a_{k} ⟩ ⟨ a_{k} ∣$ , $ρ_{B} = \sum_{k} s_{k}^{2} ∣ b_{k} ⟩ ⟨ b_{k} ∣$ で、両者の 0 でない固有値はどちらも $s_{k}^{2}$ です。したがって $S (ρ_{A}) = S (ρ_{B}) = - k \sum s_{k}^{2} lo g s_{k}^{2}$ が成り立ち、これをエンタングルメント・エントロピーと呼びます。積状態（シュミット数 1）なら $0$ 、シュミット数が 2 以上なら正です。全体 $∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ は純粋なのでエントロピー $0$ なのに、部分 A を見ると正のエントロピーをもつ、という古典的な確率にはない性質が、もつれの度合いを表しているのです。2 量子ビットでは $s_{1}^{2} = p$ , $s_{2}^{2} = 1 - p$ として $S = - p lo g p - (1 - p) lo g (1 - p)$ で、 $p = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $lo g 2$ をとります。

手順

対象の密度行列を用意する。2 体純粋状態のエンタングルメント・エントロピーなら係数行列 $C$ を作り、 $ρ_{A} = C C^{†}$ （または $Tr_{B} ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ ）を求める
密度行列の固有値 $p_{k}$ を求める（2 体純粋状態ならシュミット係数の 2 乗 $s_{k}^{2}$ ）。 $2 \times 2$ なら $p^{2} - p + det ρ = 0$ を解く
$\sum_{k} p_{k} = 1$ と $p_{k} \geq 0$ を確かめる
$S = - \sum_{k} p_{k} lo g p_{k}$ を計算する。 $p_{k} = 0$ の項は $0$ とし、 $lo g$ は問題で指定された底（ここでは自然対数）を使う

例題

2 量子ビットの純粋状態 $∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2 2} (3 ∣00 ⟩ + 3 ∣01 ⟩ + ∣10 ⟩ - ∣11 ⟩)$ （ $∣ ij ⟩ = ∣ i ⟩_{A} ∣ j ⟩_{B}$ ）のエンタングルメント・エントロピー $S (ρ_{A}) = - Tr ρ_{A} lo g ρ_{A}$ を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

例題の解答

【手順 1】係数行列は $C = \frac{1}{2 2} (31 3 - 1)$ 。 $ρ_{A} = C C^{†}$ を計算すると、 $(ρ_{A})_{00} = \frac{1}{8} (3 + 3) = \frac{3}{4}$ , $(ρ_{A})_{11} = \frac{1}{8} (1 + 1) = \frac{1}{4}$ , $(ρ_{A})_{01} = (ρ_{A})_{10} = \frac{1}{8} (3 - 3) = 0$ 。よって $ρ_{A} = (\frac{3}{4} 0 0 \frac{1}{4})$ 。
（実際 $∣ ψ ⟩ = \frac{3}{2} ∣0 ⟩ ∣ + ⟩ + \frac{1}{2} ∣1 ⟩ ∣ - ⟩$ がシュミット分解である。）

【手順 2】 $ρ_{A}$ は対角なので固有値は $p_{1} = \frac{3}{4}$ , $p_{2} = \frac{1}{4}$ 。

【手順 3】 $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ 、どちらも正。

【手順 4】 $S (ρ_{A}) = - \frac{3}{4} lo g \frac{3}{4} - \frac{1}{4} lo g \frac{1}{4} = \frac{3}{4} (lo g 4 - lo g 3) + \frac{1}{4} lo g 4 = 2 lo g 2 - \frac{3}{4} lo g 3 \approx 0.562.$

答え: $2 lo g 2 - \frac{3}{4} lo g 3$

よくある誤り

密度行列の対角成分を固有値の代わりに使ってしまう誤り。 $ρ = \frac{1}{2} (1111)$ は対角成分が $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ なので $lo g 2$ としてしまいがちだが、固有値は $1, 0$ （純粋状態 $∣ + ⟩ ⟨ + ∣$ ）で正しくは $S = 0$ 。非対角成分があるときは必ず対角化する
シュミット係数 $s_{k}$ をそのまま確率として使ってしまう誤り。例題で $s_{k} = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$ を代入して $- \frac{3}{2} lo g \frac{3}{2} - \frac{1}{2} lo g \frac{1}{2}$ とするのは誤り。正しくは $ρ_{A}$ の固有値 $s_{k}^{2} = \frac{3}{4}, \frac{1}{4}$ を使う
対数の底を取り違える誤り。ここでは $lo g$ は自然対数で、最大にもつれた 2 量子ビットのエンタングルメント・エントロピーは $lo g 2 \approx 0.693$ である。 $lo g_{2}$ を使うと $1$ （ビット単位）になり、両者は $lo g 2$ 倍だけ異なる
全体の状態のエントロピーと部分系のエントロピーを混同する誤り。2 体純粋状態では $S (ρ_{A B}) = 0$ であり、もつれの尺度は $S (ρ_{A})$ である。 $\frac{1}{2} (∣00 ⟩ + ∣11 ⟩)$ では $S (ρ_{A B}) = 0$ だが $S (ρ_{A}) = S (ρ_{B}) = lo g 2$ 。古典の確率変数とちがい、部分のエントロピーが全体より大きくなりうる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 つの 3 準位系（クトリット）A, B の正規直交基底をそれぞれ $∣0 ⟩, ∣1 ⟩, ∣2 ⟩$ とし、 $∣ ab ⟩ = ∣ a ⟩_{A} \otimes ∣ b ⟩_{B}$ と書く。2 体の純粋状態
$∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2} ∣00 ⟩ + \frac{1}{2} ∣11 ⟩ + \frac{1}{2} ∣22 ⟩$
について、A の約密度行列 $ρ_{A} = Tr_{B} ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ のフォン・ノイマンエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）
$S (ρ_{A}) = - Tr ρ_{A} lo g ρ_{A}$
を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

フォン・ノイマンエントロピーとエンタングルメント・エントロピー

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題