量子情報・量子計算

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、$|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ とする。ある装置は、確率 $\frac{3}{4}$ で状態 $|0⟩$ を、確率 $\frac{1}{4}$ で状態 $|+⟩$ を用意し、どちらを用意したかの記録は残さない。

この装置が出力する量子ビットの密度行列を $\rho$ とするとき、純度 $\mathrm{Tr}{\rho }^2$ の値を既約分数で求めよ。

4 量子ビットのスタビライザー符号を、スタビライザー生成元
$$g_1=Z_1{Z}_2,g_2=Z_2{Z}_3,g_3=Z_3{Z}_4$$
で定める。ここで $X_j$, $Z_j$ は $j$ 番目の量子ビットにはたらくパウリ演算子 $X$, $Z$ を表し、書かれていない量子ビットには恒等演算子がはたらくとする。

符号状態（$g_1$, $g_2$, $g_3$ のすべてについて固有値 $+1$ をもつ状態）に、3 番目の量子ビットのビット反転誤り $X_3$ が起きた。この誤りの後の状態で $g_1$, $g_2$, $g_3$ を測定したときに得られる固有値（シンドローム）を、この順に組 $(s_1,s_2,s_3)$ として求めよ。各 $s_i$ は $+1$ または $-1$ で答えよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2|00⟩+|01⟩+\sqrt{3}|11⟩)$$
について、${\rho }_{AB}=|\psi ⟩⟨\psi |$ の B についての部分トレースをとった縮約密度行列 ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B{\rho }_{AB}$ を考える。A と B のもつれエントロピー（${\rho }_A$ のフォン・ノイマンエントロピー）
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}\left({\rho }_A\log {\rho }_A\right)$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$0\log 0=0$ とする。

$n=6$ 量子ビットの CSS 符号を、${\mathbb{F}}_2$ 上の 2 つの検査行列
$$H_X=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right),H_Z=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で定める。$H_X$ の各行は $X$ 型のスタビライザー生成元（1 の位置の量子ビットに $X$ をかける）、$H_Z$ の各行は $Z$ 型のスタビライザー生成元を表す。

この符号が $H_X{H}_Z^{\mathsf{T}}=0$（mod 2）を満たすことを用いて、符号化される論理量子ビットの数 $k$ を求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。減衰率 $\gamma =\frac{3}{4}$ の振幅減衰チャネルを、クラウス演算子
$$K_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-\gamma }\end{array}\right),K_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{\gamma }\\ 0& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathcal{E}(\rho )=K_0\rho K_0^{†}+K_1\rho K_1^{†}$ で定める。

入力状態 $|\psi ⟩=|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ をこのチャネルに通したとき、出力状態 $\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)$ の入力状態に対する忠実度 $F=⟨\psi |\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)|\psi ⟩$ を既約分数で求めよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{10}(7|00⟩+|01⟩+|10⟩+7|11⟩)$$
をシュミット分解 $|\psi ⟩={\sum }_i{\lambda }_i|u_i{⟩}_A|v_i{⟩}_B$（$\{|u_i⟩\}$, $\{|v_i⟩\}$ はそれぞれ正規直交系、${\lambda }_i>0$）したときのシュミット係数 ${\lambda }_i$ をすべて求めよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書き、行列は基底 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$ の順に表す。純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|00⟩+\frac{1}{2}|11⟩$$
の密度行列 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ について、B に関する部分転置を ${\rho }^{T_B}$ とする（$⟨ab|{\rho }^{T_B}|a^{\prime }{b}^{\prime }⟩=⟨a{b}^{\prime }|\rho |a^{\prime }b⟩$）。

負値性
$$\mathcal{N}=\frac{\Vert {\rho }^{T_B}{\Vert }_1-1}{2}$$
（$\Vert \cdot {\Vert }_1$ はトレースノルム、すなわち固有値の絶対値の和）の値を求めよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{5}(2|00⟩+2|01⟩+|10⟩+4|11⟩)$$
の共起（コンカレンス）$C$ を既約分数で求めよ。ただし、純粋状態 $|\psi ⟩=a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩$ の共起は $C=2|ad-bc|$ で与えられる。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$ と書き、$|{\Phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$ とする。2 量子ビットの状態
$$\rho =\frac{3}{4}|{\Phi }^{+}⟩⟨{\Phi }^{+}|+\frac{1}{4}\cdot \frac{I\otimes I}{4}$$
を考える（$I$ は $2\times 2$ の単位行列）。

A, B がそれぞれ 2 通りの測定方向 $\mathbf{a},{\mathbf{a}}^{\prime }$ と $\mathbf{b},{\mathbf{b}}^{\prime }$（単位ベクトル）を選び、$E(\mathbf{a},\mathbf{b})=\mathrm{Tr}[\rho (\mathbf{a}\cdot \mathbf{\sigma })\otimes (\mathbf{b}\cdot \mathbf{\sigma })]$ として CHSH 量
$$S=E(\mathbf{a},\mathbf{b})+E(\mathbf{a},{\mathbf{b}}^{\prime })+E({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{b})-E({\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{b}}^{\prime })$$
をつくる。測定方向を自由に選んだときの $S$ の最大値 $S_{\max }$ を求めよ。ただし、相関行列 $T_{ij}=\mathrm{Tr}(\rho {\sigma }_i\otimes {\sigma }_j)$（$i,j=x,y,z$）の特異値のうち大きい 2 つを $t_1,t_2$ とすると $S_{\max }=2\sqrt{t_1^2+t_2^2}$ となること（ホロデツキの基準）を用いてよい。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。アダマールゲートと位相ゲートを
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),P(\phi )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right)$$
とする。初期状態 $|0⟩$ に $H$、$P\left(\frac{\pi }{3}\right)$、$H$ をこの順に作用させたあと、計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を既約分数で求めよ。

2 つの 3 準位系（クトリット）A, B の正規直交基底をそれぞれ $|0⟩,|1⟩,|2⟩$ とし、$|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$ と書く。2 体の純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{2}|11⟩+\frac{1}{2}|22⟩$$
について、A の約密度行列 ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B|\psi ⟩⟨\psi |$ のフォン・ノイマンエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}{\rho }_A\log {\rho }_A$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。回転ゲートを
$$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\theta /2}& 0\\ 0& e^{i\theta /2}\end{array}\right),R_y(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& -\sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)$$
と定める。ユニタリ行列
$$U=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}i& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -i\end{array}\right)$$
を、実数 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ を用いて
$$U=e^{i\alpha }{R}_z(\beta )R_y(\gamma )R_z(\delta )$$
と分解する。$0\le \gamma \le \pi$ とするとき、$\gamma$ の値を求めよ。

3 ビットの入力 $x=x_1{x}_2{x}_3\in \{0,1{\}}^3$ に対する関数 $f:\{0,1{\}}^3\to \{0,1\}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x\in \{000,001,010,100\})\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で定める（$f$ は 8 個の入力のうち 4 個で $1$ をとる均衡関数である）。オラクル $U_f$ は $U_f|x⟩|b⟩=|x⟩|b\oplus f(x)⟩$（$b\in \{0,1\}$, $\oplus$ は 2 を法とする和）と作用する。

ドイチュ・ジョザのアルゴリズムとして、次の操作を行う。
1. 3 量子ビットの入力レジスタを $|000⟩$、補助量子ビットを $|1⟩$ に用意する。
2. 4 個すべての量子ビットにアダマールゲート $H$ を作用させる。
3. $U_f$ を 1 回作用させる。
4. 入力レジスタの 3 量子ビットそれぞれに $H$ を作用させる。
5. 入力レジスタを計算基底で測定する。

ここで $H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$, $H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$ とする。測定結果が $111$ となる確率を求めよ。

$N=64$ 個の要素の中に、解（印のついた要素）がちょうど $M=4$ 個ある。$n=6$ 量子ビットの一様な重ね合わせ状態 $|s⟩=\frac{1}{\sqrt{64}}{\sum }_{x=0}^{63}|x⟩$ から始め、グローバーの反復 $G=(2|s⟩⟨s|-1)O$ を $k=1$ 回だけ作用させた後、計算基底で測定する。ここで $O$ は解 $x$ に対して $|x⟩\mapsto -|x⟩$、解でない $x$ に対して $|x⟩\mapsto |x⟩$ と作用するオラクルであり、反復ではまずオラクル $O$ を作用させ、続いて $|s⟩$ に関する反転 $2|s⟩⟨s|-1$ を作用させる。測定結果が解のどれかになる確率を、既約分数で求めよ。

ユニタリ演算子 $U$ と、その固有状態 $|u⟩$（$U|u⟩=e^{2\pi i\phi }|u⟩$, $\phi =\frac{1}{8}$）がある。$t=2$ 量子ビットの制御レジスタ（$N=2^t=4$）を使って、標準的な量子位相推定を行う。すなわち、制御レジスタを $|0{⟩}^{\otimes 2}$ からアダマールゲートで一様な重ね合わせ $\frac{1}{2}{\sum }_{k=0}^3|k⟩$ にし、制御 $U^k$ 演算によって状態を $\frac{1}{2}{\sum }_{k=0}^3{e}^{2\pi i\phi k}|k⟩|u⟩$ とした後、制御レジスタに逆量子フーリエ変換 $|k⟩\mapsto \frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_{y=0}^{N-1}{e}^{-2\pi iky/N}|y⟩$ を作用させて計算基底で測定する。測定結果が $y=0$ となる確率を、根号を含む正確な値で求めよ。

2 つの量子ビット $A$, $B$ からなる系が、次の純粋状態にある。
$$|\psi {⟩}_{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(|0{⟩}_A|0{⟩}_B+|0{⟩}_A|1{⟩}_B+|1{⟩}_A|1{⟩}_B\right)$$
ここで $\{|0⟩,|1⟩\}$ は各量子ビットの正規直交基底である。部分系 $A$ の約密度行列を ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B|\psi ⟩⟨\psi |$ とするとき、フォン・ノイマンエントロピー
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}\left({\rho }_A\log {\rho }_A\right)$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$0\log 0=0$ と約束する。答えは対数と根号を用いた正確な形で表せ。

$4$ 量子ビットのグローバー探索を考える。探索空間は $N=2^4=16$ 個の計算基底状態 $|x⟩$ $(x=0,1,\dots ,15)$ であり、オラクルは $O_f|x⟩=(-1{)}^{f(x)}|x⟩$ で与えられる。ここで $f:\{0,\dots ,15\}\to \{0,1\}$ であり、$f(x)=1$ となる $x$ を「印のついた要素」と呼ぶ。印のついた要素の個数 $M$ は事前にはわからず、$M=1$ である確率と $M=2$ である確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ であることだけがわかっている。

アルゴリズムは次のとおりである。初期状態 $|s⟩=H^{\otimes 4}|0000⟩=\frac{1}{4}{\sum }_{x=0}^{15}|x⟩$ を用意し、グローバー演算子 $G=D{O}_f$（$D=2|s⟩⟨s|-I$）を $k$ 回作用させたのち、計算基底で測定する。測定結果が印のついた要素であれば成功とする。

反復回数 $k$ は $M$ を知らないまま事前に $\{0,1,2,3,4,5\}$ の中から $1$ つ選ぶ（デコヒーレンスのため $k\le 5$ に制限されている）。$M$ についての平均をとった成功確率が最大になるように $k$ を選ぶとき、その最大の成功確率を既約分数で求めよ。ゲートやオラクルには誤差がないものとする。

2 量子ビット（補助ビット $a$ と系ビット $b$）からなる量子回路を考える。計算基底を $\{|0⟩,|1⟩\}$ とし、ゲートを次のように定める。
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),S^{†}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -i\end{array}\right),$$
$$R_y(\theta )=e^{-i\theta Y/2}=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& -\sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right),R_z(\phi )=e^{-i\phi Z/2}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\phi /2}& 0\\ 0& e^{i\phi /2}\end{array}\right).$$
ここで $Y,Z$ はパウリ行列、$\theta ,\phi$ は実数である。1 量子ビットゲート $U=R_y(\theta )R_z(\phi )$（先に $R_z(\phi )$、次に $R_y(\theta )$ を作用させる）に対し、制御 $U$ ゲート $\mathrm{C}U$ を、$a$ が $|0⟩$ のときは $b$ に何もせず、$a$ が $|1⟩$ のときは $b$ に $U$ をそのまま（全体の位相因子も含めて）作用させるゲートとする。

初期状態 $|0{⟩}_a|0{⟩}_b$ から、次の順にゲートを作用させる。

$(1)$ $b$ に $H$、$(2)$ $a$ に $H$、$(3)$ $a$ を制御、$b$ を標的とする $\mathrm{C}U$、$(4)$ $a$ に $S^{†}$、$(5)$ $a$ に $H$。

その後、$a$ だけを計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を $\theta ,\phi$ の式で求めよ。

2 つの量子ビット A, B からなる系が、次の純粋状態にあるとする。
$$|\psi {⟩}_{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(|0{⟩}_A|0{⟩}_B+|0{⟩}_A|1{⟩}_B+|1{⟩}_A|0{⟩}_B\right)$$
ここで $\{|0⟩,|1⟩\}$ は各量子ビットの正規直交基底である。B について部分トレースをとった A の縮約密度行列を ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B|\psi ⟩⟨\psi |$ とする。A のフォン・ノイマンエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}\left({\rho }_A\log {\rho }_A\right)$$
を求めよ。$\log$ は自然対数とし、答えは根号と対数を用いた正確な値で、できるだけ簡単な形で答えよ。

$4$ 量子ビットの計算基底 $\{|x⟩{\}}_{x=0}^{15}$（$N=16$）に対してグローバーのアルゴリズムを考える。関数 $f:\{0,1,\dots ,15\}\to \{0,1\}$ は、ただ $1$ つの $x=w$ に対してだけ $f(w)=1$ となり、それ以外では $f(x)=0$ とする。

初期状態は、$|0000⟩$ の各量子ビットにアダマール変換をほどこした一様な重ね合わせ
$$|s⟩=\frac{1}{4}\sum _{x=0}^{15}|x⟩$$
とする。オラクルを $O|x⟩=(-1{)}^{f(x)}|x⟩$、グローバー反復を $G=(2|s⟩⟨s|-I)O$ と定める。$|s⟩$ に $G$ を $k$ 回作用させた後、計算基底で測定して $w$ を得る確率を $P_k$ とする。ここで $k$ は $1\le k\le 5$ の整数とし、すべての操作は誤りなく行われるものとする。

$P_k$ を最大にする $k$ と、そのときの $P_k$ の値（既約分数）を、$(k,P_k)$ の順に組で求めよ。

2 量子ビット系（部分系 $A$, $B$）の正規化された純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{3}\left(2|00⟩+|01⟩+2|11⟩\right)$$
を考える。ここで $|ij⟩=|i{⟩}_A\otimes |j{⟩}_B$ $(i,j\in \{0,1\})$ は計算基底である。この状態に白色雑音を混ぜた混合状態
$$\rho =p|\psi ⟩⟨\psi |+(1-p)\frac{I_4}{4}\left(p=\frac{3}{5}\right)$$
を考える。$I_4$ は $4\times 4$ の単位行列である。$\rho$ の部分系 $B$ に関する部分転置を ${\rho }^{T_B}$ とし、負値性（negativity）を
$$\mathcal{N}(\rho )=\frac{\Vert {\rho }^{T_B}{\Vert }_1-1}{2}$$
で定義する（$\Vert X{\Vert }_1=\mathrm{Tr}\sqrt{X^{†}X}$ はトレースノルム）。$\mathcal{N}(\rho )$ の値を既約分数で求めよ。

${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上の 2 つのパリティ検査行列
$$H_1=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)(3\times 7),H_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)(3\times 3)$$
を考える（$H_1$ は長さ 7 のハミング符号、$H_2$ は長さ 3 の巡回的な繰り返し符号の検査行列である）。これらから、ハイパーグラフ積と呼ばれる CSS 符号を次のように作る。$\otimes$ をクロネッカー積、$I_m$ を $m$ 次単位行列とし、演算はすべて mod 2 で行う。
$$H_X=(H_1\otimes I_3|I_3\otimes H_2^T),H_Z=(I_7\otimes H_2|H_1^T\otimes I_3)$$
$H_X$ の各行を $X$ 型スタビライザー生成元、$H_Z$ の各行を $Z$ 型スタビライザー生成元（行ベクトルの成分 1 の位置の量子ビットに $X$ または $Z$ を作用させるパウリ演算子）とする。列の数が物理量子ビット数 $n$ である。

この符号の物理量子ビット数 $n$、論理量子ビット数 $k$、符号距離 $d$（スタビライザー群の元ではないが全スタビライザーと可換なパウリ演算子の重みの最小値）を求め、組 $(n,k,d)$ の形で答えよ。

2 つの量子ビット A, B が、次の密度演算子で表される状態にある。
$$\rho =v|\psi ⟩⟨\psi |+(1-v)\frac{I\otimes I}{4},|\psi ⟩=\frac{2|00⟩+|11⟩}{\sqrt{5}},v=\frac{9}{10}$$
ここで $|0⟩,|1⟩$ は ${\sigma }_z$ の固有状態、$I$ は $2\times 2$ の単位行列である。

A 側では観測量 $A_0={\mathbf{a}}_0\cdot \mathbf{\sigma }$, $A_1={\mathbf{a}}_1\cdot \mathbf{\sigma }$ のどちらかを、B 側では $B_0={\mathbf{b}}_0\cdot \mathbf{\sigma }$, $B_1={\mathbf{b}}_1\cdot \mathbf{\sigma }$ のどちらかを測定する（${\mathbf{a}}_0,{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{b}}_0,{\mathbf{b}}_1$ は 3 次元の単位ベクトル、$\mathbf{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$ はパウリ行列で、各測定の結果は $\pm 1$）。CHSH 量
$$S=⟨A_0\otimes B_0⟩+⟨A_0\otimes B_1⟩+⟨A_1\otimes B_0⟩-⟨A_1\otimes B_1⟩$$
について、4 つの単位ベクトルをすべて自由に選んだときの $S$ の最大値を、根号を含む正確な値で求めよ。