量子情報・量子計算の問題

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。アダマールゲートと位相ゲートを
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),P(\phi )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right)$$
とする。初期状態 $|0⟩$ に $H$、$P\left(\frac{\pi }{3}\right)$、$H$ をこの順に作用させたあと、計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を既約分数で求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。減衰率 $\gamma =\frac{3}{4}$ の振幅減衰チャネルを、クラウス演算子
$$K_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-\gamma }\end{array}\right),K_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{\gamma }\\ 0& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathcal{E}(\rho )=K_0\rho K_0^{†}+K_1\rho K_1^{†}$ で定める。

入力状態 $|\psi ⟩=|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ をこのチャネルに通したとき、出力状態 $\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)$ の入力状態に対する忠実度 $F=⟨\psi |\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)|\psi ⟩$ を既約分数で求めよ。

2 量子ビット（補助ビット $a$ と系ビット $b$）からなる量子回路を考える。計算基底を $\{|0⟩,|1⟩\}$ とし、ゲートを次のように定める。
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),S^{†}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -i\end{array}\right),$$
$$R_y(\theta )=e^{-i\theta Y/2}=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& -\sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right),R_z(\phi )=e^{-i\phi Z/2}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\phi /2}& 0\\ 0& e^{i\phi /2}\end{array}\right).$$
ここで $Y,Z$ はパウリ行列、$\theta ,\phi$ は実数である。1 量子ビットゲート $U=R_y(\theta )R_z(\phi )$（先に $R_z(\phi )$、次に $R_y(\theta )$ を作用させる）に対し、制御 $U$ ゲート $\mathrm{C}U$ を、$a$ が $|0⟩$ のときは $b$ に何もせず、$a$ が $|1⟩$ のときは $b$ に $U$ をそのまま（全体の位相因子も含めて）作用させるゲートとする。

初期状態 $|0{⟩}_a|0{⟩}_b$ から、次の順にゲートを作用させる。

$(1)$ $b$ に $H$、$(2)$ $a$ に $H$、$(3)$ $a$ を制御、$b$ を標的とする $\mathrm{C}U$、$(4)$ $a$ に $S^{†}$、$(5)$ $a$ に $H$。

その後、$a$ だけを計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を $\theta ,\phi$ の式で求めよ。

$n=6$ 量子ビットの CSS 符号を、${\mathbb{F}}_2$ 上の 2 つの検査行列
$$H_X=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right),H_Z=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で定める。$H_X$ の各行は $X$ 型のスタビライザー生成元（1 の位置の量子ビットに $X$ をかける）、$H_Z$ の各行は $Z$ 型のスタビライザー生成元を表す。

この符号が $H_X{H}_Z^{\mathsf{T}}=0$（mod 2）を満たすことを用いて、符号化される論理量子ビットの数 $k$ を求めよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書き、行列は基底 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$ の順に表す。純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|00⟩+\frac{1}{2}|11⟩$$
の密度行列 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ について、B に関する部分転置を ${\rho }^{T_B}$ とする（$⟨ab|{\rho }^{T_B}|a^{\prime }{b}^{\prime }⟩=⟨a{b}^{\prime }|\rho |a^{\prime }b⟩$）。

負値性
$$\mathcal{N}=\frac{\Vert {\rho }^{T_B}{\Vert }_1-1}{2}$$
（$\Vert \cdot {\Vert }_1$ はトレースノルム、すなわち固有値の絶対値の和）の値を求めよ。