1 量子ビットゲートの分解と普遍ゲート

1 量子ビットユニタリを $e^{i α} R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ)$ に分解し、回転角や全体位相を求め、制御ゲートを CNOT と 1 量子ビットゲートで組み立てられる

前提

量子ゲートと量子回路の計算（大学院物理量子情報・量子計算）

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算数中学高校大学大学院

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量子ゲートと量子回路の計算（大学院物理量子情報・量子計算）

説明

どんな 1 量子ビットのゲート（ $2 \times 2$ ユニタリー行列）も、全体位相 $e^{i α}$ と $z$ 軸・ $y$ 軸まわりの 3 つの回転の積 $U = e^{i α} R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ)$ に分解できます。この技能を身につけると、与えられたゲートの行列から 4 つの角 $α, β, γ, δ$ を読み取り、さらにその分解を使って任意の制御 $U$ ゲートを CNOT 2 個と 1 量子ビットゲートだけで組み立てられるようになります。実機で使えるゲートの種類は限られているので、回路を「CNOT と 1 量子ビット回転」という普遍的な部品に翻訳する（コンパイルする）ときの基本になります。

なぜそうしてよいのか

回転ゲートを $R_{z} (θ) = (e^{- i θ /2} 0 0 e^{i θ /2})$ , $R_{y} (θ) = (cos \frac{θ}{2} sin \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2})$ とします。積を計算すると（ $c = cos \frac{γ}{2}$ , $s = sin \frac{γ}{2}$ ） $R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ) = (e^{- i (β + δ) /2} c e^{i (β - δ) /2} s - e^{- i (β - δ) /2} s e^{i (β + δ) /2} c)$ で、行列式は $c^{2} + s^{2} = 1$ です。一方、任意のユニタリー $U$ は $∣ det U ∣ = 1$ なので $det U = e^{2 i α}$ と書け、 $V = e^{- i α} U$ は行列式 1 のユニタリーです。列が正規直交で行列式が 1 という条件から、 $V$ は必ず $(a b - b^{*} a^{*})$ （ $∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} = 1$ ）の形になります（第 2 列は第 1 列に直交する長さ 1 のベクトルなので $e^{i ϕ} (- b^{*}, a^{*})^{T}$ と書け、 $det V = e^{i ϕ} = 1$ ）。そこで $∣ a ∣ = cos \frac{γ}{2}$ , $∣ b ∣ = sin \frac{γ}{2}$ となる $γ \in [0, π]$ を選び、 $a$ の偏角を $- \frac{β + δ}{2}$ 、 $b$ の偏角を $\frac{β - δ}{2}$ に合わせれば、上の積と一致します。こうして分解は必ず存在します。ただし $α$ は $π$ の整数倍だけ、 $R_{z}$ の角は $2 π$ ずらすと符号が変わるといった不定性があるので、答えを 1 つに決めるには角の範囲を指定します。

この分解から制御 $U$ が作れます。 $A = R_{z} (β) R_{y} (\frac{γ}{2})$ , $B = R_{y} (- \frac{γ}{2}) R_{z} (- \frac{δ + β}{2})$ , $C = R_{z} (\frac{δ - β}{2})$ とおくと、回転角を足し合わせて $A B C = R_{z} (β) R_{z} (- β) = I$ です。また $X = σ_{x}$ で挟むと $X R_{y} (θ) X = R_{y} (- θ)$ , $X R_{z} (θ) X = R_{z} (- θ)$ となる（成分を直接計算すると確かめられる）ので、 $A X B X C = R_{z} (β) R_{y} (\frac{γ}{2}) R_{y} (\frac{γ}{2}) R_{z} (\frac{δ + β}{2}) R_{z} (\frac{δ - β}{2}) = R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ)$ です。そこで標的に $C$ 、CNOT、 $B$ 、CNOT、 $A$ の順にかけると、制御が $∣0 ⟩$ なら $A B C = I$ 、 $∣1 ⟩$ なら $A X B X C = e^{- i α} U$ がかかります。最後に制御ビットに位相ゲート $(10 0 e^{i α})$ をかけて、制御が $∣1 ⟩$ のときだけ $e^{i α}$ を補えば制御 $U$ の完成です。全体位相は単独のゲートでは観測できませんが、制御版では制御ビットの相対位相になるので省けません。2 量子ビット以上のゲートも、CNOT と 1 量子ビットゲートの組み合わせで正確に作れることが知られており、この組を普遍ゲートセットと呼びます。

手順

$det U$ を計算し、 $e^{2 i α} = det U$ から全体位相 $α$ を（指定された範囲で）決める
$V = e^{- i α} U$ を作り、 $V = (a b - b^{*} a^{*})$ の形になっていることを確かめる
$cos \frac{γ}{2} = ∣ a ∣$ , $sin \frac{γ}{2} = ∣ b ∣$ から $γ \in [0, π]$ を求める（半角に注意）
$a = ∣ a ∣ e^{- i (β + δ) /2}$ , $b = ∣ b ∣ e^{i (β - δ) /2}$ から $β + δ$ と $β - δ$ を求め、 $β, δ$ を解く
求めた角を戻して $e^{i α} R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ) = U$ を検算する
制御 $U$ が必要なら、標的に $C = R_{z} (\frac{δ - β}{2})$ → CNOT → $B = R_{y} (- \frac{γ}{2}) R_{z} (- \frac{δ + β}{2})$ → CNOT → $A = R_{z} (β) R_{y} (\frac{γ}{2})$ 、制御に位相ゲート $diag (1, e^{i α})$ を並べる

例題

$R_{z} (θ) = (e^{- i θ /2} 0 0 e^{i θ /2})$ , $R_{y} (θ) = (cos \frac{θ}{2} sin \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2})$ とする。アダマール・ゲート $H = \frac{1}{2} (11 1 - 1)$ を $H = e^{i α} R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ) (0 \leq α < π, 0 \leq β < 2 π, 0 \leq γ \leq π, 0 \leq δ < 4 π)$ と分解するとき、組 $(α, β, γ, δ)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $det H = \frac{1}{2} (- 1 - 1) = - 1 = e^{2 i α}$ 。 $0 \leq α < π$ では $2 α = π$ 、 $α = \frac{π}{2}$ 。

【手順 2】 $V = e^{- iπ /2} H = - i H = \frac{1}{2} (- i - i - i i)$ 。 $a = - \frac{i}{2}$ , $b = - \frac{i}{2}$ とすると $- b^{*} = - \frac{i}{2}$ , $a^{*} = \frac{i}{2}$ で、確かに $(a b - b^{*} a^{*})$ の形。

【手順 3】 $cos \frac{γ}{2} = ∣ a ∣ = \frac{1}{2}$ , $sin \frac{γ}{2} = \frac{1}{2}$ より $\frac{γ}{2} = \frac{π}{4}$ 、 $γ = \frac{π}{2}$ 。

【手順 4】 $a = \frac{1}{2} e^{- iπ /2}$ より $\frac{β + δ}{2} \equiv \frac{π}{2} (mod 2 π)$ 、 $b = \frac{1}{2} e^{- iπ /2}$ より $\frac{β - δ}{2} \equiv - \frac{π}{2} (mod 2 π)$ 。すなわち $β + δ \equiv π$ , $β - δ \equiv - π (mod 4 π)$ 。足して 2 で割ると $β \equiv 0 (mod 2 π)$ で $β = 0$ 、すると $δ \equiv π (mod 4 π)$ で $δ = π$ （ $β$ を $2 π$ ずらす解は $δ$ も $2 π$ ずれて $β$ が範囲外になる）。

【手順 5】 $R_{z} (π) = diag (- i, i)$ , $R_{y} (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} (11 - 1 1)$ より $R_{y} (\frac{π}{2}) R_{z} (π) = \frac{1}{2} (- i - i - i i)$ 。これに $e^{iπ /2} = i$ をかけると $\frac{1}{2} (11 1 - 1) = H$ となり正しい。

よって $(α, β, γ, δ) = (\frac{π}{2}, 0, \frac{π}{2}, π)$ 。

答え: $(\frac{π}{2}, 0, \frac{π}{2}, π)$

よくある誤り

$R_{y} (γ)$ の成分を $cos γ$ と思って角を半分に求めてしまう誤り。成分は $cos \frac{γ}{2}$ なので、 $H$ では $cos \frac{γ}{2} = \frac{1}{2}$ から $γ = \frac{π}{2}$ であり、 $γ = \frac{π}{4}$ ではない
積の順番を逆に読む誤り。 $R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ)$ では状態に最初にかかるのは右端の $R_{z} (δ)$ で、回路図では $R_{z} (δ)$ , $R_{y} (γ)$ , $R_{z} (β)$ の順に左から並ぶ。 $H = i R_{y} (\frac{π}{2}) R_{z} (π)$ を $i R_{z} (π) R_{y} (\frac{π}{2})$ としてしまうと $\frac{1}{2} (1 - 1 - 1 - 1) \neq = H$ になる
全体位相 $e^{i α}$ を捨てたまま制御ゲートを作る誤り。 $Z = e^{iπ /2} R_{z} (π)$ だが、制御 $R_{z} (π)$ は $diag (1, 1, - i, i)$ で、制御 $Z$ の $diag (1, 1, 1, - 1)$ とは異なる。正しくは制御ビットに位相ゲート $diag (1, e^{iπ /2}) = S$ を加える
$R_{z} (θ)$ と位相ゲート $(10 0 e^{i θ})$ を同じものとして扱う誤り。両者は $(10 0 e^{i θ}) = e^{i θ /2} R_{z} (θ)$ のように全体位相だけ異なり、単独では同じ働きだが、分解の $α$ の値や制御版のゲートは変わる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
1 量子ビットの計算基底を $∣0 ⟩$ , $∣1 ⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。回転ゲートを
$R_{z} (θ) = (e^{- i θ /2} 0 0 e^{i θ /2}), R_{y} (θ) = (cos \frac{θ}{2} sin \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2})$
と定める。ユニタリ行列
$U = \frac{1}{2} (i 3 - 3 - i)$
を、実数 $α, β, γ, δ$ を用いて
$U = e^{i α} R_{z} (β) R_{y} (γ) R_{z} (δ)$
と分解する。 $0 \leq γ \leq π$ とするとき、 $γ$ の値を求めよ。