密度行列と混合状態

純粋状態・混合状態の密度行列 $ρ = \sum_{i} p_{i} ∣ ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} ∣$ を書き、純度 $Tr ρ^{2}$ 、期待値 $Tr (ρ A)$ 、1 量子ビットのブロッホベクトルを求められる

前提

スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

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算数中学高校大学大学院

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スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

量子系の状態が一つの状態ベクトル $∣ ψ ⟩$ で決まらず、「確率 $p_{i}$ で $∣ ψ_{i} ⟩$ が用意されている」という古典的な不確かさを含むとき、その状態は密度行列 $ρ = \sum_{i} p_{i} ∣ ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} ∣$ で表します。密度行列が一つあれば、どの物理量の期待値も $⟨ A ⟩ = Tr (ρ A)$ で計算でき、純度 $Tr ρ^{2}$ で状態がどれだけ「混ざっているか」を測れます。1 量子ビット（スピン 1/2）では $ρ = \frac{1}{2} (I + r \cdot σ)$ と書け、3 次元のブロッホベクトル $r$ で状態を図示できます。熱平衡にある系、偏りの不完全なビーム、量子情報でのノイズのある量子ビットなどを扱うときの基本の道具です。

なぜそうしてよいのか

確率 $p_{i}$ （ $p_{i} \geq 0$ 、 $\sum_{i} p_{i} = 1$ ）で規格化された状態 $∣ ψ_{i} ⟩$ が用意されるとき、物理量 $A$ の期待値は、各状態での量子力学的な期待値をさらに確率で平均したもの $⟨ A ⟩ = \sum_{i} p_{i} ⟨ ψ_{i} ∣ A ∣ ψ_{i} ⟩$ です。正規直交基底 ${∣ n ⟩}$ を挟むと $⟨ ψ ∣ A ∣ ψ ⟩ = \sum_{n} ⟨ n ∣ A ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ n ⟩ = Tr (A ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣)$ なので、 $⟨ A ⟩ = Tr (ρ A)$ 、 $ρ = \sum_{i} p_{i} ∣ ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} ∣$ とまとまります。期待値に必要な情報はすべて $ρ$ に入っていて、どの $∣ ψ_{i} ⟩$ をどう混ぜたかという内訳は $ρ$ が同じなら区別できません。 $ρ$ はエルミート、 $Tr ρ = \sum_{i} p_{i} = 1$ 、任意の $∣ ϕ ⟩$ で $⟨ ϕ ∣ ρ ∣ ϕ ⟩ = \sum_{i} p_{i} ∣ ⟨ ϕ ∣ ψ_{i} ⟩ ∣^{2} \geq 0$ を満たします。

純粋状態 $ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ では $ρ^{2} = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = ρ$ なので $Tr ρ^{2} = 1$ 。一般には $ρ$ の固有値 $λ_{k}$ （ $\geq 0$ 、和は 1）を使って $Tr ρ^{2} = \sum_{k} λ_{k}^{2} \leq 1$ で、等号は純粋状態のときだけ、 $d$ 次元で最小値 $\frac{1}{d}$ は $ρ = \frac{I}{d}$ （完全に混ざった状態）のときです。

2 次元の場合、エルミート行列は $I, σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}$ の実係数の和で書け、 $Tr ρ = 1$ から $ρ = \frac{1}{2} (I + r_{x} σ_{x} + r_{y} σ_{y} + r_{z} σ_{z})$ となります。パウリ行列はトレースが 0 で $Tr (σ_{i} σ_{j}) = 2 δ_{ij}$ なので、 $r_{i} = Tr (ρ σ_{i}) = ⟨ σ_{i} ⟩$ 、つまり $⟨ S ⟩ = \frac{ℏ}{2} r$ です。さらに $Tr ρ^{2} = \frac{1 + ∣ r ∣ ^{2}}{2}$ で、固有値 $\frac{1 \pm ∣ r ∣}{2} \geq 0$ から $∣ r ∣ \leq 1$ 。純粋状態は球面上（ $∣ r ∣ = 1$ ）、混合状態は球の内部にあります。 $ρ$ が $p_{i}$ について線形なので、混合状態のブロッホベクトルは各成分状態のブロッホベクトルを確率で平均したものです。

手順

混ぜる状態 $∣ ψ_{i} ⟩$ を規格化した列ベクトルで書き、それぞれの射影 $∣ ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} ∣$ （列ベクトル × その共役転置の行ベクトル）を計算する
確率で重み付けして足し、 $ρ = \sum_{i} p_{i} ∣ ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} ∣$ を求める。 $Tr ρ = 1$ とエルミート性で検算する
期待値は $⟨ A ⟩ = Tr (ρ A)$ で計算する
純度は $Tr ρ^{2} = \sum_{m, n} ∣ ρ_{mn} ∣^{2}$ で計算する（1 なら純粋状態、1 より小さければ混合状態）
1 量子ビットではブロッホベクトルを $r_{x} = 2 Re ρ_{01}, r_{y} = - 2 Im ρ_{01}, r_{z} = ρ_{00} - ρ_{11}$ （ $ρ_{01} = ⟨ 0∣ ρ ∣1 ⟩$ 、 $∣0 ⟩$ は $σ_{z} = + 1$ の状態）で求める。これは $r_{i} = Tr (ρ σ_{i})$ と同じで、 $Tr ρ^{2} = \frac{1 + ∣ r ∣ ^{2}}{2}$ で検算できる

例題

スピン 1/2 の粒子が、確率 $\frac{3}{4}$ で $S_{z} = + \frac{ℏ}{2}$ の固有状態 $∣ ↑ ⟩$ に、確率 $\frac{1}{4}$ で $S_{x} = + \frac{ℏ}{2}$ の固有状態 $∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩)$ に用意されている。 $∣ ↑ ⟩ = (10)$ 、 $∣ ↓ ⟩ = (01)$ の基底で密度行列を $ρ = \frac{1}{2} (I + r_{x} σ_{x} + r_{y} σ_{y} + r_{z} σ_{z})$ と表すとき、ブロッホベクトルの成分の組 $(r_{x}, r_{y}, r_{z})$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1）射影を計算する。
$∣ ↑ ⟩ ⟨ ↑ ∣ = (1000), ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ = \frac{1}{2} (11) (11) = \frac{1}{2} (1111) .$

（手順 2）重み付けして足す。
$ρ = \frac{3}{4} (1000) + \frac{1}{8} (1111) = (\frac{7}{8} \frac{1}{8} \frac{1}{8} \frac{1}{8}) .$
$Tr ρ = \frac{7}{8} + \frac{1}{8} = 1$ 、実対称（エルミート）で検算できる。

（手順 5） $ρ_{01} = \frac{1}{8}$ は実数なので $r_{x} = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ 、 $r_{y} = 0$ 、 $r_{z} = \frac{7}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$ 。

（確認）成分状態のブロッホベクトル $(0, 0, 1)$ と $(1, 0, 0)$ を確率で平均すると $\frac{3}{4} (0, 0, 1) + \frac{1}{4} (1, 0, 0) = (\frac{1}{4}, 0, \frac{3}{4})$ で一致する。また手順 4 で $Tr ρ^{2} = \frac{49}{64} + 2 \cdot \frac{1}{64} + \frac{1}{64} = \frac{13}{16}$ 、 $\frac{1 + ∣ r ∣ ^{2}}{2} = \frac{1 + \frac{1}{16} + \frac{9}{16}}{2} = \frac{13}{16}$ も一致し、 $∣ r ∣ < 1$ の混合状態である。

答え: $(\frac{1}{4}, 0, \frac{3}{4})$

よくある誤り

混合状態を状態ベクトルの重ね合わせ $p_{1} ∣ ψ_{1} ⟩ + p_{2} ∣ ψ_{2} ⟩$ で表してしまう誤り。重ね合わせは純粋状態で、干渉項（非対角成分）が変わる。たとえば $∣ ↑ ⟩, ∣ ↓ ⟩$ を確率 $\frac{1}{2}$ ずつ混ぜた $ρ = \frac{I}{2}$ と、 $\frac{1}{2} (∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩)$ の $ρ = \frac{1}{2} (1111)$ は別の状態。
純度を $Tr ρ^{2} = \sum_{i} p_{i}^{2}$ と混ぜる確率だけから計算してしまう誤り。これが正しいのは $∣ ψ_{i} ⟩$ が互いに直交するときだけ。上の例では $(\frac{3}{4})^{2} + (\frac{1}{4})^{2} = \frac{5}{8}$ だが、正しくは $Tr ρ^{2} = \frac{13}{16}$ 。
ブロッホベクトルを $r = ⟨ S ⟩$ としてしまう誤り。 $r = ⟨ σ ⟩ = Tr (ρ σ)$ で、スピンの期待値は $⟨ S ⟩ = \frac{ℏ}{2} r$ 。
$r_{y}$ の符号を $r_{y} = 2 Im ρ_{01}$ としてしまう誤り。 $σ_{y} = (0 i - i 0)$ より $Tr (ρ σ_{y}) = i ρ_{01} - i ρ_{10} = i (ρ_{01} - ρ_{01}^{*}) = - 2 Im ρ_{01}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
1 量子ビットの計算基底を $∣0 ⟩$ , $∣1 ⟩$ とし、 $∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩)$ とする。ある装置は、確率 $\frac{3}{4}$ で状態 $∣0 ⟩$ を、確率 $\frac{1}{4}$ で状態 $∣ + ⟩$ を用意し、どちらを用意したかの記録は残さない。
この装置が出力する量子ビットの密度行列を $ρ$ とするとき、純度 $Tr ρ^{2}$ の値を既約分数で求めよ。

この技能の次に学べること

テンソル積と部分トレース（大学院物理量子情報・量子計算）
量子チャネル（クラウス演算子）と忠実度（大学院物理量子情報・量子計算）