量子情報・量子計算の問題

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。減衰率 $\gamma =\frac{3}{4}$ の振幅減衰チャネルを、クラウス演算子
$$K_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-\gamma }\end{array}\right),K_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{\gamma }\\ 0& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathcal{E}(\rho )=K_0\rho K_0^{†}+K_1\rho K_1^{†}$ で定める。

入力状態 $|\psi ⟩=|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ をこのチャネルに通したとき、出力状態 $\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)$ の入力状態に対する忠実度 $F=⟨\psi |\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)|\psi ⟩$ を既約分数で求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。アダマールゲートと位相ゲートを
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),P(\phi )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right)$$
とする。初期状態 $|0⟩$ に $H$、$P\left(\frac{\pi }{3}\right)$、$H$ をこの順に作用させたあと、計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を既約分数で求めよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{5}(2|00⟩+2|01⟩+|10⟩+4|11⟩)$$
の共起（コンカレンス）$C$ を既約分数で求めよ。ただし、純粋状態 $|\psi ⟩=a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩$ の共起は $C=2|ad-bc|$ で与えられる。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。回転ゲートを
$$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\theta /2}& 0\\ 0& e^{i\theta /2}\end{array}\right),R_y(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& -\sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)$$
と定める。ユニタリ行列
$$U=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}i& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -i\end{array}\right)$$
を、実数 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ を用いて
$$U=e^{i\alpha }{R}_z(\beta )R_y(\gamma )R_z(\delta )$$
と分解する。$0\le \gamma \le \pi$ とするとき、$\gamma$ の値を求めよ。

$N=64$ 個の要素の中に、解（印のついた要素）がちょうど $M=4$ 個ある。$n=6$ 量子ビットの一様な重ね合わせ状態 $|s⟩=\frac{1}{\sqrt{64}}{\sum }_{x=0}^{63}|x⟩$ から始め、グローバーの反復 $G=(2|s⟩⟨s|-1)O$ を $k=1$ 回だけ作用させた後、計算基底で測定する。ここで $O$ は解 $x$ に対して $|x⟩\mapsto -|x⟩$、解でない $x$ に対して $|x⟩\mapsto |x⟩$ と作用するオラクルであり、反復ではまずオラクル $O$ を作用させ、続いて $|s⟩$ に関する反転 $2|s⟩⟨s|-1$ を作用させる。測定結果が解のどれかになる確率を、既約分数で求めよ。