量子情報・量子計算の問題

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{10}(7|00⟩+|01⟩+|10⟩+7|11⟩)$$
をシュミット分解 $|\psi ⟩={\sum }_i{\lambda }_i|u_i{⟩}_A|v_i{⟩}_B$（$\{|u_i⟩\}$, $\{|v_i⟩\}$ はそれぞれ正規直交系、${\lambda }_i>0$）したときのシュミット係数 ${\lambda }_i$ をすべて求めよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2|00⟩+|01⟩+\sqrt{3}|11⟩)$$
について、${\rho }_{AB}=|\psi ⟩⟨\psi |$ の B についての部分トレースをとった縮約密度行列 ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B{\rho }_{AB}$ を考える。A と B のもつれエントロピー（${\rho }_A$ のフォン・ノイマンエントロピー）
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}\left({\rho }_A\log {\rho }_A\right)$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$0\log 0=0$ とする。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書き、行列は基底 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$ の順に表す。純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|00⟩+\frac{1}{2}|11⟩$$
の密度行列 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ について、B に関する部分転置を ${\rho }^{T_B}$ とする（$⟨ab|{\rho }^{T_B}|a^{\prime }{b}^{\prime }⟩=⟨a{b}^{\prime }|\rho |a^{\prime }b⟩$）。

負値性
$$\mathcal{N}=\frac{\Vert {\rho }^{T_B}{\Vert }_1-1}{2}$$
（$\Vert \cdot {\Vert }_1$ はトレースノルム、すなわち固有値の絶対値の和）の値を求めよ。

2 つの 3 準位系（クトリット）A, B の正規直交基底をそれぞれ $|0⟩,|1⟩,|2⟩$ とし、$|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$ と書く。2 体の純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{2}|11⟩+\frac{1}{2}|22⟩$$
について、A の約密度行列 ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B|\psi ⟩⟨\psi |$ のフォン・ノイマンエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}{\rho }_A\log {\rho }_A$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$ と書き、$|{\Phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$ とする。2 量子ビットの状態
$$\rho =\frac{3}{4}|{\Phi }^{+}⟩⟨{\Phi }^{+}|+\frac{1}{4}\cdot \frac{I\otimes I}{4}$$
を考える（$I$ は $2\times 2$ の単位行列）。

A, B がそれぞれ 2 通りの測定方向 $\mathbf{a},{\mathbf{a}}^{\prime }$ と $\mathbf{b},{\mathbf{b}}^{\prime }$（単位ベクトル）を選び、$E(\mathbf{a},\mathbf{b})=\mathrm{Tr}[\rho (\mathbf{a}\cdot \mathbf{\sigma })\otimes (\mathbf{b}\cdot \mathbf{\sigma })]$ として CHSH 量
$$S=E(\mathbf{a},\mathbf{b})+E(\mathbf{a},{\mathbf{b}}^{\prime })+E({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{b})-E({\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{b}}^{\prime })$$
をつくる。測定方向を自由に選んだときの $S$ の最大値 $S_{\max }$ を求めよ。ただし、相関行列 $T_{ij}=\mathrm{Tr}(\rho {\sigma }_i\otimes {\sigma }_j)$（$i,j=x,y,z$）の特異値のうち大きい 2 つを $t_1,t_2$ とすると $S_{\max }=2\sqrt{t_1^2+t_2^2}$ となること（ホロデツキの基準）を用いてよい。