量子情報・量子計算の問題

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2|00⟩+|01⟩+\sqrt{3}|11⟩)$$
について、${\rho }_{AB}=|\psi ⟩⟨\psi |$ の B についての部分トレースをとった縮約密度行列 ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B{\rho }_{AB}$ を考える。A と B のもつれエントロピー（${\rho }_A$ のフォン・ノイマンエントロピー）
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}\left({\rho }_A\log {\rho }_A\right)$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$0\log 0=0$ とする。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{5}(2|00⟩+2|01⟩+|10⟩+4|11⟩)$$
の共起（コンカレンス）$C$ を既約分数で求めよ。ただし、純粋状態 $|\psi ⟩=a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩$ の共起は $C=2|ad-bc|$ で与えられる。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{10}(7|00⟩+|01⟩+|10⟩+7|11⟩)$$
をシュミット分解 $|\psi ⟩={\sum }_i{\lambda }_i|u_i{⟩}_A|v_i{⟩}_B$（$\{|u_i⟩\}$, $\{|v_i⟩\}$ はそれぞれ正規直交系、${\lambda }_i>0$）したときのシュミット係数 ${\lambda }_i$ をすべて求めよ。

2 つの量子ビット A, B の計算基底を $|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$（$a,b\in \{0,1\}$）と書き、行列は基底 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$ の順に表す。純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|00⟩+\frac{1}{2}|11⟩$$
の密度行列 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ について、B に関する部分転置を ${\rho }^{T_B}$ とする（$⟨ab|{\rho }^{T_B}|a^{\prime }{b}^{\prime }⟩=⟨a{b}^{\prime }|\rho |a^{\prime }b⟩$）。

負値性
$$\mathcal{N}=\frac{\Vert {\rho }^{T_B}{\Vert }_1-1}{2}$$
（$\Vert \cdot {\Vert }_1$ はトレースノルム、すなわち固有値の絶対値の和）の値を求めよ。

2 つの 3 準位系（クトリット）A, B の正規直交基底をそれぞれ $|0⟩,|1⟩,|2⟩$ とし、$|ab⟩=|a{⟩}_A\otimes |b{⟩}_B$ と書く。2 体の純粋状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{2}|11⟩+\frac{1}{2}|22⟩$$
について、A の約密度行列 ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B|\psi ⟩⟨\psi |$ のフォン・ノイマンエントロピー（エンタングルメント・エントロピー）
$$S({\rho }_A)=-\mathrm{Tr}{\rho }_A\log {\rho }_A$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。