CHSH 不等式と量子力学での最大値

局所実在論での上限 $∣ S ∣ \leq 2$ とツィレルソン限界 $22$ を理解し、相関行列 $T_{ij} = Tr (ρ σ_{i} \otimes σ_{j})$ の大きい 2 つの特異値から $S_{m a x} = 2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ （ホロデツキの基準）を求められる

前提

テンソル積と部分トレース（大学院物理量子情報・量子計算）

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算数中学高校大学大学院

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密度行列と混合状態（大学院物理量子情報・量子計算）
テンソル積と部分トレース（大学院物理量子情報・量子計算）

説明

離れた 2 人（A と B）がそれぞれ 2 通りの測定設定から 1 つを選び、結果 $\pm 1$ を得る実験を考えます。4 つの設定の組の相関を組み合わせた CHSH 量 $S$ は、結果があらかじめ決まっている「局所実在論」では必ず $∣ S ∣ \leq 2$ ですが、量子力学ではエンタングルした状態で最大 $22$ （ツィレルソン限界）まで大きくなれます。この技能を身につけると、2 量子ビット状態 $ρ$ の相関行列 $T$ を計算し、測定方向を最適に選んだときの最大値 $S_{m a x} = 2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ を求めて、その状態が CHSH 不等式を破れるかどうかを判定できます。

なぜそうしてよいのか

A の設定を $a, a^{'}$ 、B の設定を $b, b^{'}$ とし、結果を $A, A^{'}, B, B^{'} \in {+ 1, - 1}$ とします。相関 $E (a, b)$ は積 $A B$ の平均です。CHSH 量を $S = E (a, b) + E (a, b^{'}) + E (a^{'}, b) - E (a^{'}, b^{'})$ と定めます。局所実在論では、1 回ごとに 4 つの結果すべてが（隠れた変数によって）決まっていて、A の結果は B の設定によらないと考えます。すると 1 回ごとに $A (B + B^{'}) + A^{'} (B - B^{'})$ を考えられ、 $B, B^{'} = \pm 1$ なので $B + B^{'}$ と $B - B^{'}$ の一方は $0$ 、他方は $\pm 2$ です。よってこの値は必ず $\pm 2$ で、その平均である $S$ は $∣ S ∣ \leq 2$ を満たします。

量子力学では、単位ベクトル $a$ の方向のスピン測定は観測量 $a \cdot σ = a_{x} σ_{x} + a_{y} σ_{y} + a_{z} σ_{z}$ （固有値 $\pm 1$ ）で表され、相関は $E (a, b) = Tr (ρ (a \cdot σ) \otimes (b \cdot σ)) = \sum_{i, j} a_{i} T_{ij} b_{j} = a \cdot T b$ です。ここで $T_{ij} = Tr (ρ σ_{i} \otimes σ_{j})$ （ $i, j = x, y, z$ ）は実数を成分とする $3 \times 3$ の相関行列です。 $S = a \cdot T (b + b^{'}) + a^{'} \cdot T (b - b^{'})$ で、 $b, b^{'}$ が単位ベクトルなので $b + b^{'}$ と $b - b^{'}$ は直交し、長さは $2 cos θ, 2 sin θ$ （ $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ）と書けます。直交する単位ベクトル $c, c^{'}$ で $b + b^{'} = 2 cos θ c$ , $b - b^{'} = 2 sin θ c^{'}$ とおき、 $a, a^{'}$ をそれぞれ $T c, T c^{'}$ の向きに選ぶと $S = 2 (cos θ ∣ T c ∣ + sin θ ∣ T c^{'} ∣)$ で、加法定理（三角関数の合成）により $θ$ について最大化すると $2 ∣ T c ∣^{2} + ∣ T c^{'} ∣^{2}$ になります。

残りは $∣ T c ∣^{2} + ∣ T c^{'} ∣^{2} = c \cdot (T^{T} T) c + c^{'} \cdot (T^{T} T) c^{'}$ の最大化です。 $T^{T} T$ は対称行列で、固有値 $μ_{1} \geq μ_{2} \geq μ_{3} \geq 0$ をもち直交対角化できます。その固有ベクトルの基底で成分を書くと和は $\sum_{k} μ_{k} w_{k}$ , $w_{k} = c_{k}^{2} + c_{k}^{'2}$ です。 $c, c^{'}$ に 3 本目の単位ベクトル $c^{''}$ を加えて正規直交基底にすると $w_{k} = 1 - c_{k}^{''2} \leq 1$ 、また $\sum_{k} w_{k} = 2$ なので、最大値は $w_{1} = w_{2} = 1$ のときの $μ_{1} + μ_{2}$ です。 $T$ の特異値を $t_{k} = μ_{k}$ （ $T^{T} T$ の固有値の平方根、大きい順）と書けば $S_{m a x} = 2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ （ホロデツキの基準）で、 $S_{m a x} > 2$ 、すなわち $t_{1}^{2} + t_{2}^{2} > 1$ のときに限り CHSH 不等式を破れます。固有値 $\pm 1$ の観測量の積の期待値なので任意の単位ベクトルで $∣ a \cdot T b ∣ \leq 1$ 、したがって $T$ の各特異値は 1 以下で、 $S_{m a x} \leq 22$ となり、これがツィレルソン限界です。

手順

状態 $ρ$ （純粋なら $∣ ψ ⟩$ ）を計算基底で書く
相関行列 $T_{ij} = Tr (ρ σ_{i} \otimes σ_{j})$ （純粋なら $⟨ ψ ∣ σ_{i} \otimes σ_{j} ∣ ψ ⟩$ ）の 9 成分を求める
$T^{T} T$ の固有値を求め、平方根をとって特異値 $t_{1} \geq t_{2} \geq t_{3} \geq 0$ とする（ $T$ が対角なら対角成分の絶対値が特異値）
大きい 2 つで $S_{m a x} = 2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ を計算する
$S_{m a x} > 2$ なら CHSH 不等式を破れる（局所実在論では説明できない相関）と判定し、 $S_{m a x} \leq 22$ を検算する

例題

2 量子ビットの純粋状態 $∣ ψ ⟩ = cos \frac{π}{12} ∣00 ⟩ + sin \frac{π}{12} ∣11 ⟩$ について、A と B の測定をそれぞれ $a \cdot σ, a^{'} \cdot σ$ および $b \cdot σ, b^{'} \cdot σ$ （ $a, a^{'}, b, b^{'}$ は単位ベクトル）とする。CHSH 量 $S = E (a, b) + E (a, b^{'}) + E (a^{'}, b) - E (a^{'}, b^{'})$ の、測定方向を自由に選んだときの最大値 $S_{m a x}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $c = cos \frac{π}{12}$ , $s = sin \frac{π}{12}$ とおくと $∣ ψ ⟩ = c ∣00 ⟩ + s ∣11 ⟩$ 。

【手順 2】 $σ_{z} \otimes σ_{z}$ は $∣00 ⟩, ∣11 ⟩$ に固有値 $+ 1$ なので $T_{z z} = c^{2} + s^{2} = 1$ 。 $σ_{x} \otimes σ_{x}$ は $∣00 ⟩ \leftrightarrow ∣11 ⟩$ を入れ替えるので $T_{xx} = 2 cs = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ 。 $σ_{y} \otimes σ_{y}$ は $∣00 ⟩ \to i \cdot i ∣11 ⟩ = - ∣11 ⟩$ , $∣11 ⟩ \to - ∣00 ⟩$ なので $T_{y y} = - 2 cs = - \frac{1}{2}$ 。 $σ_{x} \otimes σ_{y}$ は $∣00 ⟩ \to i ∣11 ⟩$ , $∣11 ⟩ \to - i ∣00 ⟩$ で $T_{x y} = i cs - i cs = 0$ 、同様に $T_{y x} = 0$ 。 $σ_{z}$ を片側だけに含む成分（ $T_{x z}$ など）は $∣00 ⟩, ∣11 ⟩$ を $∣01 ⟩, ∣10 ⟩$ に移すので $0$ 。よって $T = diag (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)$ 。

【手順 3】 $T$ は対角なので特異値は対角成分の絶対値で、大きい順に $t_{1} = 1$ , $t_{2} = \frac{1}{2}$ , $t_{3} = \frac{1}{2}$ 。

【手順 4】 $S_{m a x} = 2 1 + \frac{1}{4} = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5$ 。

【手順 5】 $5 \approx 2.236 > 2$ なので CHSH 不等式を破れる。また $5 < 22$ でツィレルソン限界以下になっている。

答え: $5$

よくある誤り

3 つの特異値すべてを使ってしまう誤り。例題で $2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + t_{3}^{2} = 2 \frac{3}{2} = 6$ とするのは誤り。CHSH では B の 2 つの設定が作る直交する 2 方向しか使えないので、正しくは大きい 2 つだけで $S_{m a x} = 2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2} = 5$
$T$ の固有値（符号つき）を大きい順に選んでしまう誤り。 $T$ の成分が負のこともあるので、正しくは $T^{T} T$ の固有値の平方根（特異値）を使う。たとえば一重項 $\frac{1}{2} (∣01 ⟩ - ∣10 ⟩)$ では $T = - I$ で固有値はすべて $- 1$ だが、特異値は $1, 1, 1$ で $S_{m a x} = 22$
エンタングルしていれば必ず CHSH 不等式を破ると思ってしまう誤り。一重項と完全混合状態の混合 $p ∣ Ψ^{-} ⟩ ⟨ Ψ^{-} ∣ + (1 - p) \frac{I}{4}$ は $T = - p I$ で $S_{m a x} = 22 p$ となり、 $\frac{1}{3} < p \leq \frac{1}{2}$ ではエンタングルしているのに $S_{m a x} \leq 2$ である
局所実在論の上限を各相関の上限 $∣ E ∣ \leq 1$ から $∣ S ∣ \leq 4$ としてしまう誤り。4 つの結果が同時に決まっていると $A (B + B^{'}) + A^{'} (B - B^{'}) = \pm 2$ なので、正しくは $∣ S ∣ \leq 2$ 。また量子力学でも $∣ S ∣$ は $22$ を超えない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 つの量子ビット A, B の計算基底を $∣ ab ⟩ = ∣ a ⟩_{A} \otimes ∣ b ⟩_{B}$ と書き、 $∣ Φ^{+} ⟩ = \frac{1}{2} (∣00 ⟩ + ∣11 ⟩)$ とする。2 量子ビットの状態
$ρ = \frac{3}{4} ∣ Φ^{+} ⟩ ⟨ Φ^{+} ∣ + \frac{1}{4} \cdot \frac{I \otimes I}{4}$
を考える（ $I$ は $2 \times 2$ の単位行列）。
A, B がそれぞれ 2 通りの測定方向 $a, a^{'}$ と $b, b^{'}$ （単位ベクトル）を選び、 $E (a, b) = Tr [ρ (a \cdot σ) \otimes (b \cdot σ)]$ として CHSH 量
$S = E (a, b) + E (a, b^{'}) + E (a^{'}, b) - E (a^{'}, b^{'})$
をつくる。測定方向を自由に選んだときの $S$ の最大値 $S_{m a x}$ を求めよ。ただし、相関行列 $T_{ij} = Tr (ρ σ_{i} \otimes σ_{j})$ （ $i, j = x, y, z$ ）の特異値のうち大きい 2 つを $t_{1}, t_{2}$ とすると $S_{m a x} = 2 t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ となること（ホロデツキの基準）を用いてよい。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
2 つの量子ビット A, B が、次の密度演算子で表される状態にある。
$ρ = v ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ + (1 - v) \frac{I \otimes I}{4}, ∣ ψ ⟩ = \frac{2∣00 ⟩ + ∣11 ⟩}{5}, v = \frac{9}{10}$
ここで $∣0 ⟩, ∣1 ⟩$ は $σ_{z}$ の固有状態、 $I$ は $2 \times 2$ の単位行列である。
A 側では観測量 $A_{0} = a_{0} \cdot σ$ , $A_{1} = a_{1} \cdot σ$ のどちらかを、B 側では $B_{0} = b_{0} \cdot σ$ , $B_{1} = b_{1} \cdot σ$ のどちらかを測定する（ $a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}$ は 3 次元の単位ベクトル、 $σ = (σ_{x}, σ_{y}, σ_{z})$ はパウリ行列で、各測定の結果は $\pm 1$ ）。CHSH 量
$S = ⟨ A_{0} \otimes B_{0} ⟩ + ⟨ A_{0} \otimes B_{1} ⟩ + ⟨ A_{1} \otimes B_{0} ⟩ - ⟨ A_{1} \otimes B_{1} ⟩$
について、4 つの単位ベクトルをすべて自由に選んだときの $S$ の最大値を、根号を含む正確な値で求めよ。