共起（コンカレンス）

純粋状態では $C = 2∣ a d - b c ∣$ 、混合状態ではウッターズの公式 $C = max (0, λ_{1} - λ_{2} - λ_{3} - λ_{4})$ （ $ρ ρ ~$ の固有値の平方根）を使って 2 量子ビット状態の共起を求められる

前提

テンソル積と部分トレース（大学院物理量子情報・量子計算）

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算数中学高校大学大学院

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テンソル積と部分トレース（大学院物理量子情報・量子計算）

説明

共起（コンカレンス） $C$ は、2 量子ビット状態がどれだけエンタングルしているかを $0 \leq C \leq 1$ の 1 つの数で表す量で、積状態（分離可能な状態）で $0$ 、ベル状態のような最大にもつれた状態で $1$ になります。純粋状態 $a ∣00 ⟩ + b ∣01 ⟩ + c ∣10 ⟩ + d ∣11 ⟩$ なら $C = 2∣ a d - b c ∣$ という係数だけの式で求まり、混合状態でもウッターズの公式によって固有値計算だけで求められます。雑音で混ざった 2 量子ビットに、もつれがどれだけ残っているかを評価するときに使います。

なぜそうしてよいのか

純粋状態 $∣ ψ ⟩ = a ∣00 ⟩ + b ∣01 ⟩ + c ∣10 ⟩ + d ∣11 ⟩$ の係数行列を $M = (a c b d)$ とすると、部分トレースで $ρ_{A} = M M^{†}$ でした。その行列式は $det ρ_{A} = ∣ det M ∣^{2} = ∣ a d - b c ∣^{2}$ です。 $ρ_{A}$ の固有値を $p, 1 - p$ とすると $p (1 - p) = ∣ a d - b c ∣^{2}$ なので、 $C = 2∣ a d - b c ∣ = 2 p (1 - p)$ と定めれば、積状態（ $ρ_{A}$ が純粋で $p = 0$ または $1$ ）のとき $C = 0$ 、 $ρ_{A} = \frac{I}{2}$ （ $p = \frac{1}{2}$ ）のとき最大値 $C = 1$ をとります。これがもつれの尺度としての共起です。

この量は次のようにも書けます。 $σ_{y} = (0 i - i 0)$ から $σ_{y} \otimes σ_{y}$ は $∣00 ⟩ \leftrightarrow ∣11 ⟩$ を符号 $- 1$ つきで、 $∣01 ⟩ \leftrightarrow ∣10 ⟩$ を符号 $+ 1$ つきで入れ替える行列です。各成分を複素共役した $∣ ψ^{*} ⟩$ から $∣ ψ ~ ⟩ = (σ_{y} \otimes σ_{y}) ∣ ψ^{*} ⟩ = (- d^{*}, c^{*}, b^{*}, - a^{*})^{T}$ を作ると $⟨ ψ ∣ ψ ~ ⟩ = - 2 (a^{*} d^{*} - b^{*} c^{*})$ なので $C = ∣ ⟨ ψ ∣ ψ ~ ⟩ ∣$ です。 $∣ ψ ~ ⟩$ は「両方のスピンを反転した状態」で、積状態ではこれが元の状態と直交することが $C = 0$ に対応します。

混合状態 $ρ$ の共起は、 $ρ$ を純粋状態の混合 $\sum_{i} p_{i} ∣ ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} ∣$ に分解する仕方すべてにわたる平均 $\sum_{i} p_{i} C (ψ_{i})$ の最小値と定めます（最もエンタングルしていない作り方で必要なもつれ）。ウッターズはこの最小値が次の手順で計算できることを示しました。スピン反転した行列 $ρ ~ = (σ_{y} \otimes σ_{y}) ρ^{*} (σ_{y} \otimes σ_{y})$ （ $ρ^{*}$ は成分の複素共役）を作り、 $ρ ρ ~$ の固有値（すべて 0 以上の実数になる）の平方根を大きい順に $λ_{1} \geq λ_{2} \geq λ_{3} \geq λ_{4}$ とすると $C (ρ) = max (0, λ_{1} - λ_{2} - λ_{3} - λ_{4}) .$ 純粋状態 $ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ では $ρ ~ = ∣ ψ ~ ⟩ ⟨ ψ ~ ∣$ で、 $ρ ρ ~ = ⟨ ψ ∣ ψ ~ ⟩ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ~ ∣$ の 0 でない固有値は $∣ ⟨ ψ ∣ ψ ~ ⟩ ∣^{2}$ だけなので、 $λ_{1} = ∣ ⟨ ψ ∣ ψ ~ ⟩ ∣ = 2∣ a d - b c ∣$ となり、はじめの式と一致します。

手順

純粋状態なら係数 $a, b, c, d$ （ $∣00 ⟩, ∣01 ⟩, ∣10 ⟩, ∣11 ⟩$ の順）を読み、規格化を確かめて $C = 2∣ a d - b c ∣$ とする（ここで終わり）
混合状態なら、 $ρ$ を基底 $∣00 ⟩, ∣01 ⟩, ∣10 ⟩, ∣11 ⟩$ の順に $4 \times 4$ 行列で書く
$ρ ~ = (σ_{y} \otimes σ_{y}) ρ^{*} (σ_{y} \otimes σ_{y})$ を作る。成分ごとには、 $ρ^{*}$ の添字を $00 \leftrightarrow 11$ , $01 \leftrightarrow 10$ と入れ替え、行・列のどちらかだけで $00$ または $11$ を通った回数が奇数なら符号を反転する
$ρ ρ ~$ の固有値を求め、その平方根を大きい順に $λ_{1} \geq λ_{2} \geq λ_{3} \geq λ_{4}$ と並べる
$C = max (0, λ_{1} - λ_{2} - λ_{3} - λ_{4})$ を計算する

例題

2 量子ビットの混合状態 $ρ = \frac{2}{3} ∣ Φ^{+} ⟩ ⟨ Φ^{+} ∣ + \frac{1}{6} (∣01 ⟩ ⟨ 01∣ + ∣10 ⟩ ⟨ 10∣), ∣ Φ^{+} ⟩ = \frac{1}{2} (∣00 ⟩ + ∣11 ⟩)$ の共起を、ウッターズの公式 $C = max (0, λ_{1} - λ_{2} - λ_{3} - λ_{4})$ （ $λ_{i}$ は $ρ ρ ~$ , $ρ ~ = (σ_{y} \otimes σ_{y}) ρ^{*} (σ_{y} \otimes σ_{y})$ の固有値の平方根を大きい順に並べたもの）を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】混合状態なので手順 2 以降を使う。

【手順 2】 $∣ Φ^{+} ⟩ ⟨ Φ^{+} ∣$ は $(00), (11)$ に関する $2 \times 2$ 部分がすべて $\frac{1}{2}$ なので、 $ρ = \frac{1}{3} 00 \frac{1}{3} 0 \frac{1}{6} 00 00 \frac{1}{6} 0 \frac{1}{3} 00 \frac{1}{3} .$ トレースは $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = 1$ 。

【手順 3】成分はすべて実数なので $ρ^{*} = ρ$ 。対角成分は $00 \leftrightarrow 11$ , $01 \leftrightarrow 10$ を入れ替えても同じ値（符号は 2 回反転して戻る）。 $(00), (11)$ 成分は $(11), (00)$ 成分に移り、行・列の両方で符号 $- 1$ がかかって $(- 1)^{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ 。よって $ρ ~ = ρ$ 。

【手順 4】 $ρ ρ ~ = ρ^{2}$ 。 $(00), (11)$ の部分は $(\frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3})^{2} = (\frac{2}{9} \frac{2}{9} \frac{2}{9} \frac{2}{9})$ で固有値 $\frac{4}{9}, 0$ 。 $(01), (10)$ の対角成分は $(\frac{1}{6})^{2} = \frac{1}{36}$ が 2 つ。平方根をとって大きい順に $λ_{1} = \frac{2}{3}$ , $λ_{2} = \frac{1}{6}$ , $λ_{3} = \frac{1}{6}$ , $λ_{4} = 0$ 。

【手順 5】 $C = max (0, \frac{2}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - 0) = \frac{1}{3}$ 。

答え: $\frac{1}{3}$

よくある誤り

$ρ ρ ~$ の固有値そのものを $λ_{i}$ として使う誤り。例題でそうすると $\frac{4}{9} - \frac{1}{36} - \frac{1}{36} = \frac{7}{18}$ となる。正しくは固有値の平方根 $\frac{2}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, 0$ を使い $C = \frac{1}{3}$
$max (0, \cdot)$ を落として負の値を答える誤り。完全混合状態 $ρ = \frac{I}{4}$ では $ρ ~ = \frac{I}{4}$ 、 $λ_{i} = \frac{1}{4}$ がすべて等しく $λ_{1} - λ_{2} - λ_{3} - λ_{4} = - \frac{1}{2}$ だが、正しくは $C = 0$ （分離可能）
$ρ ~$ を作るときに複素共役 $ρ^{*}$ をとり忘れる誤り。複素成分をもつ状態では結果が変わる。たとえば純粋状態 $\frac{1}{2} (∣00 ⟩ + i ∣11 ⟩)$ は $C = 2 \frac{1}{2} \cdot \frac{i}{2} = 1$ だが、共役をとらないと $ρ ~$ が $\frac{1}{2} (∣00 ⟩ - i ∣11 ⟩)$ の射影になり $ρ$ と直交して $ρ ρ ~ = 0$ 、 $C = 0$ と誤る
純粋状態の式で組み合わせを取り違える誤り。正しくは $∣00 ⟩, ∣11 ⟩$ の係数の積と $∣01 ⟩, ∣10 ⟩$ の係数の積の差 $C = 2∣ a d - b c ∣$ である。 $\frac{1}{2} (∣00 ⟩ + ∣01 ⟩ + ∣10 ⟩ + ∣11 ⟩)$ は $a d - b c = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ で積状態 $∣ + ⟩ ∣ + ⟩$ であり、項が 4 つあってもエンタングルしていない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 つの量子ビット A, B の計算基底を $∣ ab ⟩ = ∣ a ⟩_{A} \otimes ∣ b ⟩_{B}$ （ $a, b \in {0, 1}$ ）と書く。2 量子ビットの純粋状態
$∣ ψ ⟩ = \frac{1}{5} (2∣00 ⟩ + 2∣01 ⟩ + ∣10 ⟩ + 4∣11 ⟩)$
の共起（コンカレンス） $C$ を既約分数で求めよ。ただし、純粋状態 $∣ ψ ⟩ = a ∣00 ⟩ + b ∣01 ⟩ + c ∣10 ⟩ + d ∣11 ⟩$ の共起は $C = 2∣ a d - b c ∣$ で与えられる。