量子チャネル（クラウス演算子）と忠実度

クラウス表現 $E (ρ) = \sum_{k} K_{k} ρ K_{k}^{†}$ で脱分極・位相緩和・振幅減衰チャネルの出力状態を求め、忠実度 $F = ⟨ ψ ∣ ρ ∣ ψ ⟩$ （混合状態どうしは $(Tr ρ σ ρ)^{2}$ ）や平均忠実度を計算できる

前提

密度行列と混合状態（大学院物理量子情報・量子計算）

この技能までの道筋（105 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
密度行列と混合状態（大学院物理量子情報・量子計算）

説明

量子ビットが雑音（環境との相互作用）を受けると、状態 $ρ$ は一般にユニタリー変換ではない写像 $ρ \mapsto E (ρ)$ で変わります。この写像（量子チャネル）を $E (ρ) = \sum_{k} K_{k} ρ K_{k}^{†}$ という「クラウス表現」で書くと、脱分極・位相緩和・振幅減衰といった代表的な雑音の出力状態を行列計算で求められます。さらに、出力が元の状態にどれだけ近いかを測る忠実度や、すべての入力について平均した平均忠実度を計算して、雑音の強さや量子メモリ・通信路の性能を数値で評価できるようになります。

なぜそうしてよいのか

雑音を「確率的に何かが起きる」過程と考えます。2 次の行列 $K_{k}$ の組が $\sum_{k} K_{k}^{†} K_{k} = I$ を満たすとします。状態 $ρ$ に対して「事象 $k$ が起きる」確率を $p_{k} = Tr (K_{k} ρ K_{k}^{†})$ 、起きたあとの状態を $K_{k} ρ K_{k}^{†} / p_{k}$ とすると、事象を見ていない人にとっての状態は確率で重みをつけた混合 $\sum_{k} p_{k} \cdot K_{k} ρ K_{k}^{†} / p_{k} = \sum_{k} K_{k} ρ K_{k}^{†}$ です。条件 $\sum_{k} K_{k}^{†} K_{k} = I$ は $\sum_{k} p_{k} = Tr (ρ \sum_{k} K_{k}^{†} K_{k}) = Tr ρ = 1$ 、つまり確率の和が 1（出力のトレースが 1）であることを保証します。各項 $K_{k} ρ K_{k}^{†}$ はエルミートで固有値が 0 以上なので、出力もちゃんとした密度行列になります。

代表例（ $ρ = (ρ_{00} ρ_{10} ρ_{01} ρ_{11})$ ）: (1) 位相緩和 $K_{0} = 1 - p I$ , $K_{1} = p Z$ 。 $Z ρZ$ は非対角成分の符号を変えるので、出力は対角成分そのまま、非対角成分が $(1 - 2 p)$ 倍。(2) 脱分極 $K_{0} = 1 - \frac{3 p}{4} I$ , $K_{1, 2, 3} = \frac{p}{2} X, \frac{p}{2} Y, \frac{p}{2} Z$ 。 $ρ + X ρX + Y ρ Y + Z ρZ = 2 I$ （ $Tr ρ = 1$ のとき。 $ρ = \frac{1}{2} (I + r \cdot σ)$ に代入すると確かめられる）を使うと出力は $(1 - p) ρ + p \frac{I}{2}$ 。(3) 振幅減衰（エネルギーが確率 $γ$ で $∣1 ⟩ \to ∣0 ⟩$ に逃げる） $K_{0} = (10 0 1 - γ)$ , $K_{1} = (00 γ 0)$ 。出力は $(ρ_{00} + γ ρ_{11} 1 - γ ρ_{10} 1 - γ ρ_{01} (1 - γ) ρ_{11})$ 。

近さの尺度として、純粋状態 $∣ ψ ⟩$ と状態 $σ$ の忠実度を $F = ⟨ ψ ∣ σ ∣ ψ ⟩$ と定めます。これは $σ$ を ${∣ ψ ⟩, ∣ ψ^{⊥} ⟩}$ で測ったとき $∣ ψ ⟩$ が出る確率で、 $0 \leq F \leq 1$ 、 $σ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ のときだけ 1 です。混合状態どうしは $F (ρ, σ) = (Tr ρ σ ρ)^{2}$ と定めます（ $A$ は $A$ を対角化して固有値の平方根をとった行列）。 $ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ なら $ρ = ρ$ で、 $ρ σ ρ = ⟨ ψ ∣ σ ∣ ψ ⟩ ρ$ からはじめの定義に戻ります。1 量子ビットではブロッホベクトル $r, s$ を使って $Tr (ρ σ) = \frac{1}{2} (1 + r \cdot s)$ です。チャネルの性能は、入力 $∣ ψ ⟩$ をブロッホ球面上で一様に選んだときの平均 $F ˉ = \int ⟨ ψ ∣ E (ψ) ∣ ψ ⟩ d ψ$ で測ります。チャネルがブロッホベクトルを $r \mapsto M r + t$ と変えるなら $F = \frac{1}{2} (1 + r \cdot M r + r \cdot t)$ で、球面上の平均は対称性から $⟨ r_{i} r_{j} ⟩ = \frac{1}{3} δ_{ij}$ （ $r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2} = 1$ を 3 方向に等分）、 $⟨ r_{i} ⟩ = 0$ なので $F ˉ = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} Tr M$ となります。

手順

チャネルのクラウス演算子 $K_{k}$ を書き、 $\sum_{k} K_{k}^{†} K_{k} = I$ を確かめる（問題で与えられた流儀のパラメータを使う）
入力状態を密度行列 $ρ$ にする（純粋状態なら $ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ ）
各 $k$ について $K_{k} ρ K_{k}^{†}$ を計算して足し、出力 $E (ρ) = \sum_{k} K_{k} ρ K_{k}^{†}$ を得る。 $Tr E (ρ) = 1$ を検算する
忠実度を計算する。比べる状態が純粋なら $F = ⟨ ψ ∣ E (ρ) ∣ ψ ⟩$ 、両方混合なら $F = (Tr ρ σ ρ)^{2}$
平均忠実度が必要なら、ブロッホベクトルの変換 $r \mapsto M r + t$ を読み取り $F ˉ = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} Tr M$ とする

例題

1 量子ビットの振幅減衰チャネル $E (ρ) = K_{0} ρ K_{0}^{†} + K_{1} ρ K_{1}^{†}, K_{0} = (10 0 1 - γ), K_{1} = (00 γ 0) (0 \leq γ \leq 1)$ に状態 $∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩)$ を入力する（行列は基底 $∣0 ⟩, ∣1 ⟩$ の順）。出力 $E (∣ + ⟩ ⟨ + ∣)$ と $∣ + ⟩$ の忠実度 $F = ⟨ + ∣ E (∣ + ⟩ ⟨ + ∣) ∣ + ⟩$ を $γ$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $K_{0}^{†} K_{0} = (10 0 1 - γ)$ , $K_{1}^{†} K_{1} = (00 0 γ)$ で、和は $I$ 。

【手順 2】 $ρ = ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ = \frac{1}{2} (1111)$ 。

【手順 3】 $K_{0} ρ K_{0}^{†} = \frac{1}{2} (1 1 - γ 1 - γ 1 - γ)$ 。 $K_{1} ρ K_{1}^{†}$ は、 $K_{1}$ が $∣1 ⟩$ 成分を $∣0 ⟩$ に移すので $\frac{1}{2} (γ 0 00)$ 。足して $E (ρ) = \frac{1}{2} (1 + γ 1 - γ 1 - γ 1 - γ) .$ トレースは $\frac{1}{2} (1 + γ + 1 - γ) = 1$ 。

【手順 4】 $∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (1, 1)^{T}$ なので $⟨ + ∣ A ∣ + ⟩$ は $A$ の 4 成分の和の $\frac{1}{2}$ 倍。 $F = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1 + γ + 2 1 - γ + 1 - γ) = \frac{1 + 1 - γ}{2} .$ $γ = 0$ で $1$ 、 $γ = 1$ （出力は $∣0 ⟩$ ）で $\frac{1}{2}$ となり妥当である。

答え: $\frac{1 + 1 - γ}{2}$

よくある誤り

$K_{k}^{†}$ の代わりに $K_{k}$ を右からかけてしまう誤り。振幅減衰の $K_{1}$ はエルミートでないので、 $ρ = ∣1 ⟩ ⟨ 1∣$ に対し $K_{1} ρ K_{1} = 0$ になってしまうが、正しくは $K_{1} ρ K_{1}^{†} = γ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣$ で、出力は $γ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + (1 - γ) ∣1 ⟩ ⟨ 1∣$
脱分極チャネルのパラメータの流儀を混同する誤り。 $K_{0} = 1 - p I$ , $K_{i} = p /3 σ_{i}$ と書く流儀では出力は $(1 - \frac{4 p}{3}) ρ + \frac{4 p}{3} \cdot \frac{I}{2}$ で、 $(1 - p) ρ + p \frac{I}{2}$ ではない。クラウス演算子から毎回計算し直すこと
混合状態どうしの忠実度を $Tr (ρ σ)$ としてしまう誤り。 $ρ = σ = \frac{I}{2}$ では $Tr (ρ σ) = \frac{1}{2}$ だが、同じ状態なので正しくは $F = 1$ である（ $ρ = \frac{I}{2}$ より $ρ σ ρ = \frac{I}{4}$ 、その平方根は $\frac{I}{2}$ でトレース 1、2 乗して $F = 1$ ）。 $Tr (ρ σ)$ で済むのは片方が純粋状態のときだけ
平均忠実度を $∣0 ⟩$ と $∣1 ⟩$ だけの平均で済ませる誤り。振幅減衰では $\frac{1}{2} (1 + (1 - γ)) = 1 - \frac{γ}{2}$ となるが、正しくはブロッホ球面全体で平均して $M = diag (1 - γ, 1 - γ, 1 - γ)$ から $F ˉ = \frac{1}{2} + \frac{2 1 - γ + 1 - γ}{6}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
1 量子ビットの計算基底を $∣0 ⟩$ , $∣1 ⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。減衰率 $γ = \frac{3}{4}$ の振幅減衰チャネルを、クラウス演算子
$K_{0} = (10 0 1 - γ), K_{1} = (00 γ 0)$
を用いて $E (ρ) = K_{0} ρ K_{0}^{†} + K_{1} ρ K_{1}^{†}$ で定める。
入力状態 $∣ ψ ⟩ = ∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩)$ をこのチャネルに通したとき、出力状態 $E (∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣)$ の入力状態に対する忠実度 $F = ⟨ ψ ∣ E (∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣) ∣ ψ ⟩$ を既約分数で求めよ。