量子情報・量子計算の問題

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。減衰率 $\gamma =\frac{3}{4}$ の振幅減衰チャネルを、クラウス演算子
$$K_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-\gamma }\end{array}\right),K_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{\gamma }\\ 0& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathcal{E}(\rho )=K_0\rho K_0^{†}+K_1\rho K_1^{†}$ で定める。

入力状態 $|\psi ⟩=|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ をこのチャネルに通したとき、出力状態 $\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)$ の入力状態に対する忠実度 $F=⟨\psi |\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)|\psi ⟩$ を既約分数で求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。回転ゲートを
$$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\theta /2}& 0\\ 0& e^{i\theta /2}\end{array}\right),R_y(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& -\sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)$$
と定める。ユニタリ行列
$$U=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}i& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -i\end{array}\right)$$
を、実数 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ を用いて
$$U=e^{i\alpha }{R}_z(\beta )R_y(\gamma )R_z(\delta )$$
と分解する。$0\le \gamma \le \pi$ とするとき、$\gamma$ の値を求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。アダマールゲートと位相ゲートを
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),P(\phi )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right)$$
とする。初期状態 $|0⟩$ に $H$、$P\left(\frac{\pi }{3}\right)$、$H$ をこの順に作用させたあと、計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を既約分数で求めよ。

${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上の 2 つのパリティ検査行列
$$H_1=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)(3\times 7),H_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)(3\times 3)$$
を考える（$H_1$ は長さ 7 のハミング符号、$H_2$ は長さ 3 の巡回的な繰り返し符号の検査行列である）。これらから、ハイパーグラフ積と呼ばれる CSS 符号を次のように作る。$\otimes$ をクロネッカー積、$I_m$ を $m$ 次単位行列とし、演算はすべて mod 2 で行う。
$$H_X=(H_1\otimes I_3|I_3\otimes H_2^T),H_Z=(I_7\otimes H_2|H_1^T\otimes I_3)$$
$H_X$ の各行を $X$ 型スタビライザー生成元、$H_Z$ の各行を $Z$ 型スタビライザー生成元（行ベクトルの成分 1 の位置の量子ビットに $X$ または $Z$ を作用させるパウリ演算子）とする。列の数が物理量子ビット数 $n$ である。

この符号の物理量子ビット数 $n$、論理量子ビット数 $k$、符号距離 $d$（スタビライザー群の元ではないが全スタビライザーと可換なパウリ演算子の重みの最小値）を求め、組 $(n,k,d)$ の形で答えよ。

4 量子ビットのスタビライザー符号を、スタビライザー生成元
$$g_1=Z_1{Z}_2,g_2=Z_2{Z}_3,g_3=Z_3{Z}_4$$
で定める。ここで $X_j$, $Z_j$ は $j$ 番目の量子ビットにはたらくパウリ演算子 $X$, $Z$ を表し、書かれていない量子ビットには恒等演算子がはたらくとする。

符号状態（$g_1$, $g_2$, $g_3$ のすべてについて固有値 $+1$ をもつ状態）に、3 番目の量子ビットのビット反転誤り $X_3$ が起きた。この誤りの後の状態で $g_1$, $g_2$, $g_3$ を測定したときに得られる固有値（シンドローム）を、この順に組 $(s_1,s_2,s_3)$ として求めよ。各 $s_i$ は $+1$ または $-1$ で答えよ。