量子情報・量子計算の問題

$n=6$ 量子ビットの CSS 符号を、${\mathbb{F}}_2$ 上の 2 つの検査行列
$$H_X=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right),H_Z=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で定める。$H_X$ の各行は $X$ 型のスタビライザー生成元（1 の位置の量子ビットに $X$ をかける）、$H_Z$ の各行は $Z$ 型のスタビライザー生成元を表す。

この符号が $H_X{H}_Z^{\mathsf{T}}=0$（mod 2）を満たすことを用いて、符号化される論理量子ビットの数 $k$ を求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。減衰率 $\gamma =\frac{3}{4}$ の振幅減衰チャネルを、クラウス演算子
$$K_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-\gamma }\end{array}\right),K_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{\gamma }\\ 0& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathcal{E}(\rho )=K_0\rho K_0^{†}+K_1\rho K_1^{†}$ で定める。

入力状態 $|\psi ⟩=|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ をこのチャネルに通したとき、出力状態 $\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)$ の入力状態に対する忠実度 $F=⟨\psi |\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)|\psi ⟩$ を既約分数で求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、$|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ とする。ある装置は、確率 $\frac{3}{4}$ で状態 $|0⟩$ を、確率 $\frac{1}{4}$ で状態 $|+⟩$ を用意し、どちらを用意したかの記録は残さない。

この装置が出力する量子ビットの密度行列を $\rho$ とするとき、純度 $\mathrm{Tr}{\rho }^2$ の値を既約分数で求めよ。

$N=64$ 個の要素の中に、解（印のついた要素）がちょうど $M=4$ 個ある。$n=6$ 量子ビットの一様な重ね合わせ状態 $|s⟩=\frac{1}{\sqrt{64}}{\sum }_{x=0}^{63}|x⟩$ から始め、グローバーの反復 $G=(2|s⟩⟨s|-1)O$ を $k=1$ 回だけ作用させた後、計算基底で測定する。ここで $O$ は解 $x$ に対して $|x⟩\mapsto -|x⟩$、解でない $x$ に対して $|x⟩\mapsto |x⟩$ と作用するオラクルであり、反復ではまずオラクル $O$ を作用させ、続いて $|s⟩$ に関する反転 $2|s⟩⟨s|-1$ を作用させる。測定結果が解のどれかになる確率を、既約分数で求めよ。

ユニタリ演算子 $U$ と、その固有状態 $|u⟩$（$U|u⟩=e^{2\pi i\phi }|u⟩$, $\phi =\frac{1}{8}$）がある。$t=2$ 量子ビットの制御レジスタ（$N=2^t=4$）を使って、標準的な量子位相推定を行う。すなわち、制御レジスタを $|0{⟩}^{\otimes 2}$ からアダマールゲートで一様な重ね合わせ $\frac{1}{2}{\sum }_{k=0}^3|k⟩$ にし、制御 $U^k$ 演算によって状態を $\frac{1}{2}{\sum }_{k=0}^3{e}^{2\pi i\phi k}|k⟩|u⟩$ とした後、制御レジスタに逆量子フーリエ変換 $|k⟩\mapsto \frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_{y=0}^{N-1}{e}^{-2\pi iky/N}|y⟩$ を作用させて計算基底で測定する。測定結果が $y=0$ となる確率を、根号を含む正確な値で求めよ。