量子情報・量子計算の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院物理量子情報・量子計算

2 量子ビット（補助ビット $a$ と系ビット $b$ ）からなる量子回路を考える。計算基底を ${∣0 ⟩, ∣1 ⟩}$ とし、ゲートを次のように定める。
$H = \frac{1}{2} (11 1 - 1), S^{†} = (10 0 - i),$
$R_{y} (θ) = e^{- i θ Y /2} = (cos \frac{θ}{2} sin \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}), R_{z} (φ) = e^{- i φZ /2} = (e^{- i φ /2} 0 0 e^{i φ /2}) .$
ここで $Y, Z$ はパウリ行列、 $θ, φ$ は実数である。1 量子ビットゲート $U = R_{y} (θ) R_{z} (φ)$ （先に $R_{z} (φ)$ 、次に $R_{y} (θ)$ を作用させる）に対し、制御 $U$ ゲート $C U$ を、 $a$ が $∣0 ⟩$ のときは $b$ に何もせず、 $a$ が $∣1 ⟩$ のときは $b$ に $U$ をそのまま（全体の位相因子も含めて）作用させるゲートとする。

初期状態 $∣0 ⟩_{a} ∣0 ⟩_{b}$ から、次の順にゲートを作用させる。

$(1)$ $b$ に $H$ 、 $(2)$ $a$ に $H$ 、 $(3)$ $a$ を制御、 $b$ を標的とする $C U$ 、 $(4)$ $a$ に $S^{†}$ 、 $(5)$ $a$ に $H$ 。

その後、 $a$ だけを計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を $θ, φ$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

量子ゲートと量子回路の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（107 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

回路全体は、補助ビットを使って $⟨ ψ ∣ U ∣ ψ ⟩$ （ $∣ ψ ⟩ = ∣ + ⟩$ ）を測る「アダマールテスト」の形をしています。 $S^{†}$ の役割に注目しましょう。

ヒント 2

各ゲートの後の状態を順に書き下すと、 $P (0) = \frac{1}{2} (1 + Im ⟨ ψ ∣ U ∣ ψ ⟩)$ が導けます。

ヒント 3

$R_{z} (φ) ∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (e^{- i φ /2} ∣0 ⟩ + e^{i φ /2} ∣1 ⟩)$ 、 $⟨ + ∣ R_{y} (θ) = \frac{1}{2} (cos \frac{θ}{2} + sin \frac{θ}{2}, cos \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2})$ を使って内積を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{1}{2} (1 - sin \frac{θ}{2} sin \frac{φ}{2})

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解説を読む

$∣ ψ ⟩ = H ∣0 ⟩ = ∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩)$ とおく。

状態の追跡. $(1), (2)$ の後の状態は $\frac{1}{2} (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩)_{a} ∣ ψ ⟩_{b}$ である。 $(3)$ の $C U$ により
$\frac{1}{2} (∣0 ⟩ ∣ ψ ⟩ + ∣1 ⟩ U ∣ ψ ⟩)$
となる。 $(4)$ の $S^{†}$ は $∣1 ⟩ \to - i ∣1 ⟩$ なので
$\frac{1}{2} (∣0 ⟩ ∣ ψ ⟩ - i ∣1 ⟩ U ∣ ψ ⟩) .$
$(5)$ の $H$ で $∣0 ⟩ \to \frac{∣0 ⟩ + ∣1 ⟩}{2}$ 、 $∣1 ⟩ \to \frac{∣0 ⟩ - ∣1 ⟩}{2}$ とすると
$\frac{1}{2} [∣0 ⟩ (∣ ψ ⟩ - i U ∣ ψ ⟩) + ∣1 ⟩ (∣ ψ ⟩ + i U ∣ ψ ⟩)] .$

測定確率. $a$ が $0$ となる確率は
$P (0) = \frac{1}{4} ∥ ∣ ψ ⟩ - i U ∣ ψ ⟩ ∥^{2} = \frac{1}{4} (2 - i ⟨ ψ ∣ U ∣ ψ ⟩ + i ⟨ ψ ∣ U ∣ ψ ⟩^{*}) .$
$z = ⟨ ψ ∣ U ∣ ψ ⟩$ とすると $- i z + i z^{*} = 2 Im z$ なので
$P (0) = \frac{1}{2} (1 + Im ⟨ ψ ∣ U ∣ ψ ⟩) .$
（ $S^{†}$ を入れたアダマールテストで、期待値の虚部が得られる。）

期待値の計算. $c = cos \frac{θ}{2}, s = sin \frac{θ}{2}$ とおく。
$R_{z} (φ) ∣ + ⟩ = \frac{1}{2} (e^{- i φ /2} ∣0 ⟩ + e^{i φ /2} ∣1 ⟩) .$
$⟨ + ∣ R_{y} (θ)$ は行ベクトル $\frac{1}{2} (1, 1) (c s - s c) = \frac{1}{2} (c + s, c - s)$ である。よって
$⟨ + ∣ U ∣ + ⟩ = \frac{1}{2} [(c + s) e^{- i φ /2} + (c - s) e^{i φ /2}] = c cos \frac{φ}{2} - i s sin \frac{φ}{2} .$
したがって $Im ⟨ + ∣ U ∣ + ⟩ = - sin \frac{θ}{2} sin \frac{φ}{2}$ であり、
$P (0) = \frac{1}{2} (1 - sin \frac{θ}{2} sin \frac{φ}{2}) .$

確認. $θ = φ = π$ では $U = - i X$ で $⟨ + ∣ U ∣ + ⟩ = - i$ となり、 $P (0) = 0$ である。直接計算しても $a$ は最終的に $∣1 ⟩$ になり、一致する。

別解

初期状態から順に状態を追う。

(1),(2) の後、 $∣ ψ ⟩ = ∣ + ⟩_{a} ∣ + ⟩_{b}$ となる。ここで $∣ + ⟩ = (∣0 ⟩ + ∣1 ⟩) / 2$ である。

(3) の $C U$ の後、状態は $\frac{1}{2} (∣0 ⟩ ∣ + ⟩ + ∣1 ⟩ U ∣ + ⟩)$ となる。

(4) の $S^{†}$ は $∣1 ⟩_{a}$ の成分に $- i$ をかける。

(5) の $H$ の後、 $a = 0$ の成分は $\frac{1}{2} (∣ + ⟩ - i U ∣ + ⟩)$ となる。

よって測定結果が $0$ となる確率は
$P_{0} = \frac{1}{4} ∥ (1 - i U) ∣ + ⟩ ∥^{2} = \frac{1}{4} (2 + 2 Re (- i z)) = \frac{1 + Im z}{2}, z = ⟨ + ∣ U ∣ + ⟩ .$

$U = R_{y} (θ) R_{z} (φ)$ の行列は
$U = (cos \frac{θ}{2} e^{- i φ /2} sin \frac{θ}{2} e^{- i φ /2} - sin \frac{θ}{2} e^{i φ /2} cos \frac{θ}{2} e^{i φ /2}) .$

$z$ は全成分の和の $1/2$ なので
$z = cos \frac{θ}{2} cos \frac{φ}{2} - i sin \frac{θ}{2} sin \frac{φ}{2} .$

したがって $Im z = - sin \frac{θ}{2} sin \frac{φ}{2}$ となり
$P_{0} = \frac{1}{2} (1 - sin \frac{θ}{2} sin \frac{φ}{2}) .$

検算: $θ = 0$ のとき $U = R_{z} (φ)$ で、 $P_{0} = 1/2$ となる。これは $a$ が $b$ から位相の情報を受け取る際に、 $⟨ + ∣ R_{z} ∣ + ⟩ = cos (φ /2)$ が実数であるためである。また $θ = φ = π$ のとき $P_{0} = 0$ となる。このとき $U = R_{y} (π) R_{z} (π) = (- iY) (- i Z) = - Y Z = - i X$ であり、 $∣ + ⟩$ に対して固有値 $- i$ をもつ。これは $Im z = - 1$ と一致する。

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