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量子情報・量子計算の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院物理量子情報・量子計算

2 量子ビット系（部分系 $A$ , $B$ ）の正規化された純粋状態
$∣ ψ ⟩ = \frac{1}{3} (2∣00 ⟩ + ∣01 ⟩ + 2∣11 ⟩)$
を考える。ここで $∣ ij ⟩ = ∣ i ⟩_{A} \otimes ∣ j ⟩_{B}$ $(i, j \in {0, 1})$ は計算基底である。この状態に白色雑音を混ぜた混合状態
$ρ = p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ + (1 - p) \frac{I _{4}}{4} (p = \frac{3}{5})$
を考える。 $I_{4}$ は $4 \times 4$ の単位行列である。 $ρ$ の部分系 $B$ に関する部分転置を $ρ^{T_{B}}$ とし、負値性（negativity）を
$N (ρ) = \frac{∥ ρ ^{T_{B}} ∥ _{1} - 1}{2}$
で定義する（ $∥ X ∥_{1} = Tr X^{†} X$ はトレースノルム）。 $N (ρ)$ の値を既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

部分転置と負値性（説明と入口の問題）
シュミット分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（108 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

純粋状態部分をシュミット分解すると、部分転置のスペクトルはシュミット係数だけで決まります。白色雑音の部分は部分転置しても変わりません。

ヒント 2

係数行列 $M$ の特異値がシュミット係数で、 $s_{1} s_{2} = ∣ det M ∣$ です。シュミット基底では $(∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣)^{T_{B}}$ の固有値は $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, \pm s_{1} s_{2}$ になります。

ヒント 3

$s_{1} s_{2} = 4/9$ なので、 $ρ^{T_{B}}$ の固有値の一つは $\frac{1 - p}{4} - \frac{4 p}{9}$ です。これが唯一の負の固有値になりうるので、 $p = 3/5$ を代入して絶対値をとります。

答えと解説

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\frac{1}{6}

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解説を読む

1. シュミット分解. $∣ ψ ⟩ = \sum_{ij} M_{ij} ∣ ij ⟩$ と書くと係数行列は
$M = \frac{1}{3} (2012) .$
シュミット係数 $s_{1}, s_{2}$ は $M$ の特異値であり、 $s_{i}^{2}$ は $M M^{†}$ の固有値である。
$M M^{†} = \frac{1}{9} (5224), Tr M M^{†} = 1, det M M^{†} = \frac{20 - 4}{81} = \frac{16}{81} .$
よって $s_{1, 2}^{2} = \frac{1}{2} (1 \pm 1 - \frac{64}{81}) = \frac{9 \pm 17}{18}$ であり、
$s_{1} s_{2} = det M M^{†} = ∣ det M ∣ = \frac{4}{9}$
となる（コンカレンスは $C = 2 s_{1} s_{2} = 8/9$ ）。

2. 純粋状態部分の部分転置. シュミット分解 $∣ ψ ⟩ = s_{1} ∣ a_{1} b_{1} ⟩ + s_{2} ∣ a_{2} b_{2} ⟩$ を使うと、
$∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ = s_{1}^{2} ∣ a_{1} b_{1} ⟩ ⟨ a_{1} b_{1} ∣ + s_{2}^{2} ∣ a_{2} b_{2} ⟩ ⟨ a_{2} b_{2} ∣ + s_{1} s_{2} (∣ a_{1} b_{1} ⟩ ⟨ a_{2} b_{2} ∣ + ∣ a_{2} b_{2} ⟩ ⟨ a_{1} b_{1} ∣) .$
局所ユニタリー $U \otimes V$ による基底変換に対して、部分転置は $(U \otimes V^{*}) ρ^{T_{B}} (U \otimes V^{*})^{†}$ と変換される。したがって $ρ^{T_{B}}$ のスペクトルは基底の取り方によらず、シュミット基底で計算してよい。

$B$ について転置すると $∣ a_{1} b_{1} ⟩ ⟨ a_{2} b_{2} ∣ \to ∣ a_{1} b_{2} ⟩ ⟨ a_{2} b_{1} ∣$ となる。その結果、 ${∣ a_{1} b_{2} ⟩, ∣ a_{2} b_{1} ⟩}$ の部分空間に非対角成分 $s_{1} s_{2}$ をもつ $2 \times 2$ ブロックが現れる。固有値は
$s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, + s_{1} s_{2}, - s_{1} s_{2}$
である。

3. 混合状態の部分転置. $I_{4}$ は部分転置で変わらず、どの基底でも単位行列である。よって $ρ^{T_{B}}$ の固有値は
$p s_{1}^{2} + \frac{1 - p}{4}, p s_{2}^{2} + \frac{1 - p}{4}, \frac{1 - p}{4} + p s_{1} s_{2}, \frac{1 - p}{4} - p s_{1} s_{2} .$
$p = 3/5$ では $\frac{1 - p}{4} = \frac{1}{10}$ 、 $p s_{1} s_{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{15}$ である。負になりうるのは最後の固有値だけで、
$\frac{1}{10} - \frac{4}{15} = \frac{3 - 8}{30} = - \frac{1}{6} .$
他の 3 つは正である。

4. 負値性. $ρ^{T_{B}}$ はエルミートでトレース 1 なので、 $∥ ρ^{T_{B}} ∥_{1} = \sum_{k} ∣ μ_{k} ∣ = 1 + 2 \sum_{μ_{k} < 0} ∣ μ_{k} ∣$ となる。したがって
$N (ρ) = μ_{k} < 0 \sum ∣ μ_{k} ∣ = \frac{1}{6} .$
（一般に $N = max (0, \frac{25 p - 9}{36})$ となり、 $p > 9/25$ でエンタングルしている。）

別解

純粋状態の係数行列は $M = \frac{1}{3} (2012)$ である。 $M M^{T} = \frac{1}{9} (5224)$ の固有値がシュミット係数の2乗 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ で、和は 1、積は $det = \frac{16}{81}$ である。よって $s_{1} s_{2} = \frac{4}{9}$ 。

純粋状態 $∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣$ の部分転置の固有値は $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, + s_{1} s_{2}, - s_{1} s_{2}$ である。白色雑音の部分転置は $I_{4} /4$ のままなので、 $ρ^{T_{B}}$ の固有値は各固有値に $p$ を掛けて $(1 - p) /4 = \frac{1}{10}$ を加えたものになる。

$p s_{1} s_{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{15}$ なので、固有値は次のとおり。
- $+ s_{1} s_{2}$ に対応する固有値: $\frac{4}{15} + \frac{1}{10} = \frac{11}{30}$
- $- s_{1} s_{2}$ に対応する固有値: $- \frac{4}{15} + \frac{1}{10} = - \frac{1}{6}$
- $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ に対応する固有値: $p s_{i}^{2} + \frac{1}{10} > 0$

負の固有値は $- \frac{1}{6}$ の1つだけである。固有値の総和は 1 なので $∥ ρ^{T_{B}} ∥_{1} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$ 。したがって $N = \frac{4/3 - 1}{2} = \frac{1}{6}$ 。

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