量子情報・量子計算の問題

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。アダマールゲートと位相ゲートを
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),P(\phi )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right)$$
とする。初期状態 $|0⟩$ に $H$、$P\left(\frac{\pi }{3}\right)$、$H$ をこの順に作用させたあと、計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を既約分数で求めよ。

ユニタリ演算子 $U$ と、その固有状態 $|u⟩$（$U|u⟩=e^{2\pi i\phi }|u⟩$, $\phi =\frac{1}{8}$）がある。$t=2$ 量子ビットの制御レジスタ（$N=2^t=4$）を使って、標準的な量子位相推定を行う。すなわち、制御レジスタを $|0{⟩}^{\otimes 2}$ からアダマールゲートで一様な重ね合わせ $\frac{1}{2}{\sum }_{k=0}^3|k⟩$ にし、制御 $U^k$ 演算によって状態を $\frac{1}{2}{\sum }_{k=0}^3{e}^{2\pi i\phi k}|k⟩|u⟩$ とした後、制御レジスタに逆量子フーリエ変換 $|k⟩\mapsto \frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_{y=0}^{N-1}{e}^{-2\pi iky/N}|y⟩$ を作用させて計算基底で測定する。測定結果が $y=0$ となる確率を、根号を含む正確な値で求めよ。

$N=64$ 個の要素の中に、解（印のついた要素）がちょうど $M=4$ 個ある。$n=6$ 量子ビットの一様な重ね合わせ状態 $|s⟩=\frac{1}{\sqrt{64}}{\sum }_{x=0}^{63}|x⟩$ から始め、グローバーの反復 $G=(2|s⟩⟨s|-1)O$ を $k=1$ 回だけ作用させた後、計算基底で測定する。ここで $O$ は解 $x$ に対して $|x⟩\mapsto -|x⟩$、解でない $x$ に対して $|x⟩\mapsto |x⟩$ と作用するオラクルであり、反復ではまずオラクル $O$ を作用させ、続いて $|s⟩$ に関する反転 $2|s⟩⟨s|-1$ を作用させる。測定結果が解のどれかになる確率を、既約分数で求めよ。

1 量子ビットの計算基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、行列はこの順の基底で表す。減衰率 $\gamma =\frac{3}{4}$ の振幅減衰チャネルを、クラウス演算子
$$K_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-\gamma }\end{array}\right),K_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{\gamma }\\ 0& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathcal{E}(\rho )=K_0\rho K_0^{†}+K_1\rho K_1^{†}$ で定める。

入力状態 $|\psi ⟩=|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ をこのチャネルに通したとき、出力状態 $\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)$ の入力状態に対する忠実度 $F=⟨\psi |\mathcal{E}(|\psi ⟩⟨\psi |)|\psi ⟩$ を既約分数で求めよ。

2 量子ビット（補助ビット $a$ と系ビット $b$）からなる量子回路を考える。計算基底を $\{|0⟩,|1⟩\}$ とし、ゲートを次のように定める。
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),S^{†}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -i\end{array}\right),$$
$$R_y(\theta )=e^{-i\theta Y/2}=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& -\sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right),R_z(\phi )=e^{-i\phi Z/2}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\phi /2}& 0\\ 0& e^{i\phi /2}\end{array}\right).$$
ここで $Y,Z$ はパウリ行列、$\theta ,\phi$ は実数である。1 量子ビットゲート $U=R_y(\theta )R_z(\phi )$（先に $R_z(\phi )$、次に $R_y(\theta )$ を作用させる）に対し、制御 $U$ ゲート $\mathrm{C}U$ を、$a$ が $|0⟩$ のときは $b$ に何もせず、$a$ が $|1⟩$ のときは $b$ に $U$ をそのまま（全体の位相因子も含めて）作用させるゲートとする。

初期状態 $|0{⟩}_a|0{⟩}_b$ から、次の順にゲートを作用させる。

$(1)$ $b$ に $H$、$(2)$ $a$ に $H$、$(3)$ $a$ を制御、$b$ を標的とする $\mathrm{C}U$、$(4)$ $a$ に $S^{†}$、$(5)$ $a$ に $H$。

その後、$a$ だけを計算基底で測定する。測定結果が $0$ となる確率を $\theta ,\phi$ の式で求めよ。