光電効果の式と阻止電圧

$K_{m a x} = h ν - W$ 、限界振動数 $ν_{0} = \frac{W}{h}$ 、阻止電圧 $e V_{0} = K_{m a x}$ を使い、光電子の最大運動エネルギー・仕事関数・限界振動数を求められる。2 組の測定値から $K_{m a x}$ と $ν$ の 1 次関数の関係を決められる

前提

光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

金属に光を当てると電子（光電子）が飛び出す現象を光電効果といいます。この技能では、光電効果の式 $K_{m a x} = h ν - W$ を使って、飛び出す光電子の最大運動エネルギー、金属の仕事関数 $W$ 、電子が飛び出し始める限界振動数 $ν_{0}$ を求めます。さらに、光電子を止めるのに必要な電圧（阻止電圧） $V_{0}$ と $K_{m a x}$ の関係 $e V_{0} = K_{m a x}$ を使い、実験の測定値から $h$ や $W$ を決めます。

なぜそうしてよいのか

光は、エネルギー $h ν$ をもつ光子の集まりです。光電効果では、光子 1 個が金属中の電子 1 個にエネルギー $h ν$ をまるごと渡します。電子が金属の外へ出るには、金属に引き止められている分のエネルギーを使わなければなりません。その最小値が仕事関数 $W$ で、いちばん外へ出やすい電子は $W$ だけを使い、残りをすべて運動エネルギーとして持ち出します。これが最大の運動エネルギーで、 $K_{m a x} = h ν - W$ となります。ほかの電子は $W$ より多くのエネルギーを失うので、運動エネルギーは $K_{m a x}$ より小さくなります。

$K_{m a x}$ は 0 以上でなければならないので、電子が飛び出すには $h ν ≧ W$ 、つまり $ν ≧ \frac{W}{h}$ が必要です。境目の振動数 $ν_{0} = \frac{W}{h}$ を限界振動数といい、 $ν < ν_{0}$ の光では、どれだけ強い光を当てても電子は飛び出しません。光を強くすると光子の数は増えますが、光子 1 個のエネルギー $h ν$ は変わらないからです。

電子（電荷 $- e$ ）が、電位の低い向きへ電位差 $V$ だけ進むと、電場から負の仕事 $- e V$ をされて、運動エネルギーが $e V$ 減ります。陽極の電位を陰極より $V$ だけ低くしていき、最も速い光電子でさえ陽極に届かなくなる電圧が阻止電圧 $V_{0}$ です。このとき運動エネルギーがちょうど 0 になるので $e V_{0} = K_{m a x}$ が成り立ちます。また、 $K_{m a x} = h ν - W$ は $ν$ の 1 次関数で、グラフは傾き $h$ 、縦軸切片 $- W$ 、横軸切片 $ν_{0}$ の直線になります。だから 2 組の測定値 $(ν, K_{m a x})$ があれば、直線の方程式としてこの関係を決められます。

手順

光子 1 個のエネルギーを求める： $h ν = \frac{h c}{λ}$ 。 $W$ と同じ単位（J か eV）にそろえる（ $1 eV = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ など、問題文の値で換算）。
光電効果の式で最大運動エネルギーを求める： $K_{m a x} = h ν - W$ 。結果が負になるとき（ $h ν < W$ ）は光電子は出ない。
限界振動数が必要なら、 $K_{m a x} = 0$ とおいて $ν_{0} = \frac{W}{h}$ （限界波長なら $λ_{0} = \frac{h c}{W}$ ）。
阻止電圧は $e V_{0} = K_{m a x}$ から $V_{0} = \frac{K _{m a x}}{e}$ 。 $K_{m a x}$ を eV で表していれば、その数値がそのまま V 単位の $V_{0}$ になる。
2 組の測定値があるときは、 $K_{m a x} = e V_{0}$ に直して 2 点 $(ν_{1}, K_{1})$ , $(ν_{2}, K_{2})$ を通る直線を求める。傾き $h = \frac{K _{2} - K _{1}}{ν _{2} - ν _{1}}$ 、そこから $W = h ν_{1} - K_{1}$ 、 $ν_{0} = \frac{W}{h}$ 。

例題

仕事関数が $2.0 eV$ の金属に、波長 $4.0 \times 1 0^{- 7} m$ の光を当てた。プランク定数を $6.6 \times 1 0^{- 34} J\cdots$ 、真空中の光の速さを $3.0 \times 1 0^{8} m/s$ 、電気素量を $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ （ $1 eV = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ ）とする。このときの阻止電圧は何 V か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：光子 1 個のエネルギーは $h ν = \frac{h c}{λ} = \frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34} \times 3.0 \times 1 0 ^{8}}{4.0 \times 1 0 ^{- 7}} = 4.95 \times 1 0^{- 19} J$ 仕事関数が eV で与えられているので eV に直すと $\frac{4.95 \times 1 0 ^{- 19}}{1.6 \times 1 0 ^{- 19}} = 3.09375 eV$
手順2： $K_{m a x} = h ν - W = 3.09375 - 2.0 = 1.09375 eV$ 。正の値なので光電子は出る。
手順4： $e V_{0} = K_{m a x}$ より、 $K_{m a x}$ が $1.09375 eV$ なので $V_{0} = 1.09375 V$ 。有効数字 2 桁に丸めて $V_{0} \approx 1.1 V$ 。

答え: $1.1$

よくある誤り

光を強く（明るく）すれば $K_{m a x}$ や阻止電圧が大きくなるとしてしまう誤り。正しくは、光の強さで変わるのは飛び出す電子の数（電流）で、 $K_{m a x} = h ν - W$ は振動数 $ν$ だけで決まる。
単位をそろえずに引き算してしまう誤り（例： $4.95 \times 1 0^{- 19} J - 2.0 eV$ ）。正しくは、 $2.0 eV = 3.2 \times 1 0^{- 19} J$ と換算するか、 $h ν$ を eV に直してから $K_{m a x} = h ν - W$ を計算する。
阻止電圧を $V_{0} = \frac{h ν}{e}$ としたり、J 単位の $K_{m a x}$ をそのまま V としてしまう誤り。正しくは、仕事関数を引いた $K_{m a x}$ を使い、 $V_{0} = \frac{K _{m a x}}{e} = \frac{h ν - W}{e}$ 。
$V_{0}$ と $ν$ のグラフの傾きをそのまま $h$ としてしまう誤り。正しくは $V_{0} = \frac{h}{e} ν - \frac{W}{e}$ なので、傾きは $\frac{h}{e}$ で、 $h$ はそれに $e$ を掛けた値。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
ある金属の表面に単色光を当て、光電効果によって飛び出す光電子の運動エネルギーの最大値を、阻止電圧（光電流が $0$ になるときの、陰極に対する陽極の電位の低さ）を測ることで調べた。振動数 $8.0 \times 1 0^{14} Hz$ の光を当てたときの阻止電圧は $1.23 V$ 、振動数 $6.0 \times 1 0^{14} Hz$ の光を当てたときの阻止電圧は $0.40 V$ であった。この 2 つの測定結果だけを用いて、この金属の限界振動数は何 $Hz$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、光電子の運動エネルギーの最大値は、光の振動数に対して 1 次関数の関係にあるものとする。

この技能の次に学べること

光子の数と光電流（高校物理原子）