光子の数と光電流

光の仕事率 $P$ から毎秒当たる光子数 $N = \frac{P}{h ν}$ を求め、光電子を出す割合から飽和電流 $I = e N^{'}$ を求められる

前提

光電効果の式と阻止電圧（高校物理原子）

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説明

光の強さ（仕事率 $P$ ）から、1 秒間に何個の光子が金属に当たるかを求められるようになります。さらに、そのうち何割が光電子をたたき出すかがわかれば、光電管を流れる飽和電流の大きさを計算できます。光電効果の実験で「光を強くすると電流が増えるのはなぜか」を数量的に説明するときや、電流から光子数を逆算するときに使います。

なぜそうしてよいのか

光は、エネルギー $h ν$ をもつ光子の集まりです。仕事率 $P$ [W] は「1 秒間に運ばれる光のエネルギー [J]」です。1 秒間に $N$ 個の光子が届けば、運ばれるエネルギーは $N \times h ν$ です。これが $P$ に等しいので $P = N h ν$ となり、 $N = \frac{P}{h ν}$ が得られます。波長 $λ$ で与えられたときは、 $ν = \frac{c}{λ}$ から $h ν = \frac{h c}{λ}$ を使います。

光電効果では、1 個の光子が 1 個の電子にエネルギーを渡します。ただし、それには $ν$ が限界振動数 $ν_{0}$ より大きいことが必要です。実際には、当たった光子のすべてが電子を外に出すわけではありません。1 秒間に飛び出す光電子の数を $N^{'}$ とし、光子のうち割合 $η$ が光電子を出すなら $N^{'} = η N$ です。

陽極の電圧を十分に高くすると、飛び出した光電子はすべて陽極に集まります。電流は「1 秒間に通過する電気量」なので、電気量 $e$ の電子が毎秒 $N^{'}$ 個届けば電流は $I = e N^{'}$ です。これ以上電圧を上げても、毎秒出てくる電子の数は増えません。そのため電流はこの値で頭打ちになり、これを飽和電流といいます。光を強くする（ $P$ を大きくする）と $N$ が増えるので、飽和電流は大きくなります。一方、光電子の最大運動エネルギー $K_{m a x} = h ν - W$ は変わりません。

手順

光の振動数が限界振動数を超えている（ $ν > ν_{0}$ ）ことを確認する。超えていなければ光電子は出ず、電流は $0$ になる
光子 1 個のエネルギーを求める： $E = h ν$ （波長が与えられたら $E = \frac{h c}{λ}$ ）
毎秒当たる光子数を求める： $N = \frac{P}{h ν}$
光電子を出す割合 $η$ を掛けて、毎秒出る光電子数を求める： $N^{'} = η N$
飽和電流を求める： $I = e N^{'}$ （単位は A = C/s）

例題

振動数 $5.0 \times 1 0^{14}$ Hz、仕事率 $3.3 \times 1 0^{- 3}$ W の単色光を、光電管の陰極の金属に当てる。この振動数は、陰極の金属の限界振動数より大きい。当たった光子のうち $2.0 %$ が、それぞれ 1 個の光電子を放出するものとする。プランク定数を $h = 6.6 \times 1 0^{- 34}$ J·s、電気素量を $e = 1.6 \times 1 0^{- 19}$ C とする。飽和電流は何 A か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：問題文より、光の振動数は限界振動数より大きいので、光電子は放出される。

手順2：光子 1 個のエネルギーは
$h ν = 6.6 \times 1 0^{- 34} \times 5.0 \times 1 0^{14} = 3.3 \times 1 0^{- 19} J$

手順3：毎秒当たる光子数は
$N = \frac{P}{h ν} = \frac{3.3 \times 1 0 ^{- 3}}{3.3 \times 1 0 ^{- 19}} = 1.0 \times 1 0^{16} 個 /s$

手順4：光電子を出すのはこのうち $2.0 %$ だから、毎秒出る光電子数は
$N^{'} = 0.020 \times 1.0 \times 1 0^{16} = 2.0 \times 1 0^{14} 個 /s$

手順5：飽和電流では、出た光電子がすべて陽極に届く。よって
$I = e N^{'} = 1.6 \times 1 0^{- 19} \times 2.0 \times 1 0^{14} = 3.2 \times 1 0^{- 5} A$

答え: $3.2 \times 1 0^{- 5}$

よくある誤り

割合を掛け忘れ、当たった光子全部が電子を出すとして $I = e N = \frac{e P}{h ν}$ としてしまう誤り。正しくは $I = e η N = \frac{η e P}{h ν}$ で、光電子を出す割合 $η$ を必ず掛ける。
波長 $λ$ が与えられたとき、 $N = \frac{P}{hλ}$ と波長をそのまま振動数の位置に入れてしまう誤り。正しくは $h ν = \frac{h c}{λ}$ なので $N = \frac{P λ}{h c}$ 。
飽和電流が最大運動エネルギーや阻止電圧で決まると考え、 $I$ を $K_{m a x} = h ν - W$ から求めようとする誤り。正しくは、飽和電流は毎秒出る電子の数 $N^{'}$ だけで決まり $I = e N^{'}$ 。光を強くすると $N^{'}$ が増えて $I$ は大きくなるが、 $K_{m a x}$ は変わらない。
仕事率 $P$ を一定にしたまま振動数を大きくしても、光子数は変わらないと考える誤り。正しくは $N = \frac{P}{h ν}$ なので、 $P$ が同じなら $ν$ が大きいほど光子 1 個のエネルギーが大きくなり、毎秒の光子数 $N$ は少なくなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

光子の数と光電流

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