X 線管で、陰極から出た電子を加速電圧 で加速し、陽極（ターゲット）に衝突させたところ、連続 X 線が発生した。陰極を出るときの電子の速さは とみなせるものとする。プランク定数を 、真空中の光の速さを 、電気素量を とする。この連続 X 線の最短波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。
連続 X 線の最短波長
加速電圧 の電子の運動エネルギーがすべて 1 個の X 線光子になるとして、最短波長 を求められる
前提
- 光子のエネルギーと運動量 （高校物理 原子）
- 運動エネルギーと仕事の関係 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
この技能までの道筋（45 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 音の伝わり方と大きさ・高さ （中学理科 物理分野の用語と知識）
- 音の振動数と波形 （中学理科 光と音）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
- 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
- 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
- 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
- 光子のエネルギーと運動量 （高校物理 原子）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
- 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
- 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
- 相似な三角形と長さの比 （算数 平面図形）
- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）
- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
- 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
- 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
- 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
- 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）
- 折り返した図形の角と長さ （中学数学 平面図形）
- 三平方の定理と平面図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
- ベクトルの演算と成分 （数学C ベクトル）
- 重力と力の大きさ （中学理科 力のはたらき）
- 2 力のつり合いと作用・反作用 （中学理科 力のはたらき）
- 力の種類とはたらき （中学理科 物理分野の用語と知識）
- 重力・垂直抗力・張力の性質 （高校物理 力と運動（知識））
- 慣性の法則と力のつり合い （高校物理 力と運動（知識））
- 力の分解と質点のつり合い （高校物理 力と運動）
- 静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力 （高校物理 力と運動（知識））
- 静止摩擦力と動摩擦力 （高校物理 力と運動）
- 仕事 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
- 運動エネルギーと仕事の関係 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
説明
X線管では、電圧 で加速した電子を金属（ターゲット）に当てて X 線を出します。出てくる X 線には、波長が連続的に分布する「連続 X 線」が含まれます。その波長にはこれより短くならないという下限、つまり最短波長 があります。この技能では、加速電圧 から を求められるようになります。
なぜそうしてよいのか
電気量 の粒子が電圧 の区間を移動すると、電場が粒子にする仕事は です。電子（電気量の大きさ ）をほぼ静止した状態から電圧 で加速すると、電場がする仕事は です。運動エネルギーと仕事の関係 で 、 とおくと、ターゲットに当たる直前の電子の運動エネルギーは になります。
電子はターゲットの中で急ブレーキをかけられ、失った運動エネルギーの一部または全部を X 線光子として放出します。エネルギーは保存されるので、光子 1 個のエネルギー は電子がもっていた運動エネルギー を超えられません。電子の失い方は 1 回ごとにばらばらなので、光子のエネルギーも から までいろいろな値をとります。これが連続 X 線です。
光子のエネルギーは なので、エネルギーが大きいほど波長は短くなります。波長が最短になるのは、電子の運動エネルギーがすべて 1 個の光子になったとき、すなわち のときです。よって となります。この式には電子の質量もターゲットの金属の種類も入らず、 は加速電圧 だけで決まります。
手順
加速電圧 を単位 V（ボルト）で確かめる。kV で与えられていれば で直す。
電子がターゲットに当たる直前の運動エネルギーを求める：［J］（初速は 0 とみなす）。
運動エネルギーがすべて 1 個の光子になる場合を考え、エネルギーの式を立てる：。
式を について解いて数値を代入する：。指定された有効数字に丸める。
例題
X線管で、静止していた電子を加速電圧 で加速し、金属のターゲットに当てた。このとき発生する連続 X 線の最短波長は何 m か。プランク定数を 、光の速さを 、電気素量を とし、有効数字 2 桁で答えよ。
例題の解答
手順1：電圧はすでに V 単位で、 である。
手順2：電子の運動エネルギーは である。
手順3：このエネルギーがすべて 1 個の光子になるとき、波長は最短になる。よって が成り立つ。
手順4： となる。有効数字 2 桁に丸めて である。
答え:
よくある誤り
を掛け忘れて としてしまう誤り。電圧 はエネルギーではありません。正しくは、電子のエネルギーは ［J］なので です。
加速電圧が のとき、そのまま を代入してしまう誤り。正しくは に直してから代入します。
電圧を上げると最短波長も長くなる、あるいはターゲットの金属を変えると が変わると考えてしまう誤り。正しくは なので、 を 2 倍にすると は 倍になります。また、 は金属の種類によりません。
光子のエネルギーを運動エネルギーの式に当てはめて の に を入れるなど、電子と光子の式を混同してしまう誤り。正しくは、電子のエネルギーは 、光子のエネルギーは で、これらを等しいとおいた を使います。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
X 線管で、陰極から出た電子を加速電圧 で加速し、陽極（ターゲット）に衝突させて X 線を発生させる。陰極を出るときの電子の速さは とみなす。発生する連続 X 線の最短波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を 、真空中の光の速さを 、電気素量を とする。
X 線管で、陰極から出た電子を電圧 で加速し、陽極（ターゲット）に衝突させて X 線を発生させた。陰極を出るときの電子の速さは とみなす。発生した連続 X 線のスペクトルを調べると、最短波長は であった。
加速電圧 は何 V か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を 、真空中の光の速さを 、電気素量を とする。
この技能を使う問題
X 線管で、陰極から出た電子（初速度は とみなす）を電圧 で加速し、陽極（ターゲット）に衝突させて X 線を発生させる。このとき発生する連続 X 線のうち、最も短い波長（最短波長）は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を 、真空中の光の速さを 、電気素量を とする。
X 線管で、陰極から出た初速度 の電子を電圧 で加速して陽極に当て、X 線を発生させた。このとき発生する X 線のうち、波長が最も短い X 線（連続 X 線の最短波長の X 線）を、格子面の間隔が一定の結晶に当てたところ、格子面となす角（視射角） の方向で 1 次のブラッグ反射が観測された。
次に、同じ結晶の同じ格子面に、初速度 から電圧 で加速した電子線を当てたところ、同じ視射角 の方向で 1 次のブラッグ反射が観測された。 を 、電子の質量 、電気素量 、真空中の光の速さ を用いて表せ。ただし、電子の速さは光の速さに比べて十分小さく、相対性理論による効果は考えなくてよい。プランク定数を とし、電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長は、電子の運動量の大きさを として で表されるものとする。