コンプトン効果

X 線光子と電子の衝突をエネルギー保存・運動量保存で考え、散乱 X 線の波長の変化 $Δ λ = \frac{h}{m c} (1 - cos ϕ)$ を使って散乱後の波長を求められる

前提

光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

X 線を物質（電子）に当てると、散乱された X 線の波長が元の波長より長くなります。これをコンプトン効果といい、X 線を「エネルギー $\frac{h c}{λ}$ と運動量 $\frac{h}{λ}$ をもつ粒子（光子）」とみなし、電子とのビリヤードのような衝突として扱うと説明できます。この技能を使うと、入射 X 線の波長と散乱角 $ϕ$ （入射方向と散乱 X 線の方向のなす角）から、散乱 X 線の波長を $Δ λ = \frac{h}{m c} (1 - cos ϕ)$ で求められます。光が粒子の性質をもつことを示す代表的な現象です。

なぜそうしてよいのか

静止している電子（質量 $m$ ）に、波長 $λ$ の X 線光子が入射し、光子は入射方向から角 $ϕ$ の向きに波長 $λ^{'}$ で散乱され、電子は入射方向から反対側に角 $θ$ の向きに速さ $v$ ではね飛ばされるとします。光子と電子の系には外から力積がはたらかないので、運動量は保存されます。入射方向を $x$ 軸、それに垂直な向きを $y$ 軸として成分ごとに書くと、 $x$ ： $\frac{h}{λ} = \frac{h}{λ ^{'}} cos ϕ + m v cos θ$ 、 $y$ ： $0 = \frac{h}{λ ^{'}} sin ϕ - m v sin θ$ です。また弾性的な衝突なのでエネルギーも保存され、 $\frac{h c}{λ} = \frac{h c}{λ ^{'}} + \frac{1}{2} m v^{2}$ が成り立ちます。光子は電子にエネルギーを渡すので $\frac{h c}{λ ^{'}} < \frac{h c}{λ}$ 、つまり $λ^{'} > λ$ となり、波長が長くなることがわかります。

運動量の 2 式から $m v cos θ$ 、 $m v sin θ$ を取り出して両辺を 2 乗して足すと（ $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ ）、 $(m v)^{2} = (\frac{h}{λ})^{2} + (\frac{h}{λ ^{'}})^{2} - \frac{2 h ^{2}}{λ λ ^{'}} cos ϕ$ となり、電子の向き $θ$ が消えます。これをエネルギーの式 $h c (\frac{1}{λ} - \frac{1}{λ ^{'}}) = \frac{( m v ) ^{2}}{2 m}$ に代入し、両辺に $\frac{λ λ ^{'}}{h}$ を掛けて整理すると $λ^{'} - λ = \frac{h}{2 m c} (\frac{λ ^{'}}{λ} + \frac{λ}{λ ^{'}} - 2 cos ϕ)$ です。

実際の波長の変化はごくわずかで $λ^{'} ≒ λ$ なので、 $\frac{λ ^{'}}{λ} + \frac{λ}{λ ^{'}} ≒ 2$ と近似できます。すると $Δ λ = λ^{'} - λ = \frac{h}{m c} (1 - cos ϕ)$ が得られます（電子の運動をより厳密に扱っても同じ式になることが知られています）。波長の変化は入射波長によらず、散乱角 $ϕ$ だけで決まり、 $ϕ$ が大きいほど（真後ろに跳ね返るほど）大きくなります。

手順

入射 X 線の波長 $λ$ 、散乱角 $ϕ$ （入射方向と散乱 X 線の方向のなす角）、プランク定数 $h$ 、電子の質量 $m$ 、光速 $c$ を問題文から確認する
$cos ϕ$ の値を求める。 $ϕ$ が $9 0^{\circ}$ より大きいときは $cos ϕ < 0$ になることに注意する
$\frac{h}{m c}$ を計算する（長さの次元をもち、単位は m）
波長の変化 $Δ λ = \frac{h}{m c} (1 - cos ϕ)$ を計算する
散乱 X 線の波長を $λ^{'} = λ + Δ λ$ で求め、指定された有効数字に丸める

例題

静止している電子に、波長 $5.0 \times 1 0^{- 11} m$ の X 線を当てたところ、入射方向と $12 0^{\circ}$ の角をなす向きに散乱された X 線が観測された。この散乱 X 線の波長は何 m か。プランク定数を $h = 6.6 \times 1 0^{- 34} J\cdots$ 、電子の質量を $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 、光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ とし、波長の変化は $Δ λ = \frac{h}{m c} (1 - cos ϕ)$ （ $ϕ$ は散乱角）で表されるものとする。有効数字 2 桁で答えよ。

例題の解答

手順 1： $λ = 5.0 \times 1 0^{- 11} m$ 、 $ϕ = 12 0^{\circ}$ 、 $h = 6.6 \times 1 0^{- 34} J\cdots$ 、 $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 、 $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ 。
手順 2： $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ なので $1 - cos ϕ = 1 - (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ 。
手順 3： $\frac{h}{m c} = \frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34}}{9.1 \times 1 0 ^{- 31} \times 3.0 \times 1 0 ^{8}} = \frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34}}{2.73 \times 1 0 ^{- 22}} ≒ 2.42 \times 1 0^{- 12} m$ 。
手順 4： $Δ λ = 2.42 \times 1 0^{- 12} \times \frac{3}{2} ≒ 3.63 \times 1 0^{- 12} m$ 。
手順 5： $λ^{'} = λ + Δ λ = 5.0 \times 1 0^{- 11} + 0.363 \times 1 0^{- 11} = 5.363 \times 1 0^{- 11} m$ 。有効数字 2 桁に丸めて $5.4 \times 1 0^{- 11} m$ 。散乱 X 線の波長は入射 X 線より長くなっている。

答え: $5.4 \times 1 0^{- 11}$

よくある誤り

$ϕ$ が鈍角のときに $cos ϕ$ の符号を正のまま使ってしまう誤り。例えば $ϕ = 12 0^{\circ}$ で $1 - cos ϕ = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ とするのは誤りで、正しくは $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ より $1 - cos ϕ = \frac{3}{2}$ 。
散乱後の波長を $λ^{'} = λ - Δ λ$ としてしまう誤り。光子は電子にエネルギーを渡して $\frac{h c}{λ ^{'}} < \frac{h c}{λ}$ となるので、正しくは $λ^{'} = λ + Δ λ$ （波長は長くなる）。
散乱角 $ϕ$ に電子のはね飛ばされる角 $θ$ を代入してしまう誤り。正しくは $ϕ$ は入射 X 線の向きと散乱 X 線の向きのなす角で、 $Δ λ = \frac{h}{m c} (1 - cos ϕ)$ の式に電子の角 $θ$ は入らない。
$\frac{h}{m c}$ の $m$ や $c$ の扱いを誤る誤り。例えば $\frac{h}{m c ^{2}}$ としたり、 $m$ に陽子の質量を使ったりするのは誤りで、正しくは電子の質量 $m$ を使い $\frac{h}{m c} ≒ 2.4 \times 1 0^{- 12} m$ （長さの単位をもつ量）となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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