原子の問題

波長 $\lambda =2.0\times 10^{-11}\text{m}$ の X 線を、静止している電子に当てた。X 線光子が電子と衝突し、入射方向から $60^{\circ }$ の向きに散乱された。散乱された X 線の波長 ${\lambda }^{\prime }$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、電子の質量を $m=9.1\times 10^{-31}\text{kg}$、真空中の光の速さを $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。また、X 線光子と電子の衝突ではエネルギーと運動量が保存され、散乱による波長の変化は
$${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \varphi )$$
（$\varphi$ は散乱角）で表されるものとする。

真空中を一定の速さで運動している電子があり、その物質波（ド・ブロイ波）の波長は $\lambda$ であった。電子の質量を $m$、プランク定数を $h$ とする。この電子の運動エネルギー $K$ を、$m$, $h$, $\lambda$ を用いて表せ。ただし、電子の速さは光の速さに比べて十分小さく、運動エネルギーは $\frac{1}{2}m{v}^2$ で表されるものとする。

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型では、量子数 $n$（$n=1,2,3,\dots$）の定常状態にある電子のエネルギーは、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$$
と表される。電子がエネルギー $E_n$ の準位からより低いエネルギー $E_{n^{\prime }}$ の準位へ移るとき、振動数条件 $h\nu =E_n-E_{n^{\prime }}$ を満たす振動数 $\nu$ の光が 1 個放出される。ここで $h$ はプランク定数、真空中の光の速さを $c$ とする。

$n^{\prime }=1$ の準位へ移るときに放出される光の系列をライマン系列、$n^{\prime }=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列という。ライマン系列の中で最も長い波長を ${\lambda }_{\text{L}}$、バルマー系列の中で最も長い波長を ${\lambda }_{\text{B}}$ とするとき、比 $\frac{{\lambda }_{\text{L}}}{{\lambda }_{\text{B}}}$ を求めよ。

水素原子のエネルギー準位は、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}(n=1,2,3,\cdots )$$
と表される。電子が高いエネルギー準位から $n=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列という。バルマー系列の光のうち、波長が最も長い光の波長を、プランク定数 $h$、真空中の光の速さ $c$、$E_0$ を用いて表せ。