原子の問題

ボーアの水素原子模型では、量子数 $n$（$n=1,2,3,\dots$）の定常状態にある電子のエネルギーは、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$$
と表される。電子がエネルギー $E_n$ の準位からより低いエネルギー $E_{n^{\prime }}$ の準位へ移るとき、振動数条件 $h\nu =E_n-E_{n^{\prime }}$ を満たす振動数 $\nu$ の光が 1 個放出される。ここで $h$ はプランク定数、真空中の光の速さを $c$ とする。

$n^{\prime }=1$ の準位へ移るときに放出される光の系列をライマン系列、$n^{\prime }=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列という。ライマン系列の中で最も長い波長を ${\lambda }_{\text{L}}$、バルマー系列の中で最も長い波長を ${\lambda }_{\text{B}}$ とするとき、比 $\frac{{\lambda }_{\text{L}}}{{\lambda }_{\text{B}}}$ を求めよ。

水素原子のエネルギー準位は、量子数を $n(n=1,2,3,\dots )$ として
$$E_n=-\frac{13.6}{n^2}[\text{eV}]$$
で表される。電子が $n=3$ の状態から $n=2$ の状態へ移るとき、水素原子は光子を 1 個放出する。この光（バルマー系列で最も波長の長い光）の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.63\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$（$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$）とする。

ボーアの水素原子模型では、量子数 $n$（$n=1,2,3,\dots$）の定常状態にある電子のエネルギーは、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$$
と表される。電子が高いエネルギー準位からより低いエネルギー準位へ移るとき、そのエネルギー差に等しいエネルギーをもつ光子が 1 個放出される。

電子が $n=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列、$n=1$ の準位へ移るときに放出される光の系列をライマン系列という。バルマー系列の光のうち最も波長が長いものの波長を ${\lambda }_B$、ライマン系列の光の波長の下限（いくらでも高い準位から $n=1$ へ移るときの波長の極限値）を ${\lambda }_L$ とする。比 $\frac{{\lambda }_B}{{\lambda }_L}$ を求めよ。

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している電気量 $+e$ の陽子を中心として、半径 $r$、速さ $v$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。

ボーアの量子条件は、「電子の軌道の円周の長さ $2\pi r$ が、電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長 $\lambda$ の整数倍になる」という条件
$$2\pi r=n\lambda (n=1,2,3,\dots )$$
で表される。量子数 $n$ の軌道をまわる電子の速さ $v$ を、$k$, $e$, $h$, $n$ を用いて表せ。