原子の問題

ボーアの水素原子模型では、量子数 $n$（$n=1,2,3,\dots$）の定常状態にある電子のエネルギーは、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$$
と表される。電子がエネルギー $E_n$ の準位からより低いエネルギー $E_{n^{\prime }}$ の準位へ移るとき、振動数条件 $h\nu =E_n-E_{n^{\prime }}$ を満たす振動数 $\nu$ の光が 1 個放出される。ここで $h$ はプランク定数、真空中の光の速さを $c$ とする。

$n^{\prime }=1$ の準位へ移るときに放出される光の系列をライマン系列、$n^{\prime }=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列という。ライマン系列の中で最も長い波長を ${\lambda }_{\text{L}}$、バルマー系列の中で最も長い波長を ${\lambda }_{\text{B}}$ とするとき、比 $\frac{{\lambda }_{\text{L}}}{{\lambda }_{\text{B}}}$ を求めよ。

水素原子のエネルギー準位は、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}(n=1,2,3,\cdots )$$
と表される。電子が高いエネルギー準位から $n=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列という。バルマー系列の光のうち、波長が最も長い光の波長を、プランク定数 $h$、真空中の光の速さ $c$、$E_0$ を用いて表せ。

水素原子のエネルギー準位は、量子数を $n(n=1,2,3,\dots )$ として
$$E_n=-\frac{13.6}{n^2}[\text{eV}]$$
で表される。電子が $n=3$ の状態から $n=2$ の状態へ移るとき、水素原子は光子を 1 個放出する。この光（バルマー系列で最も波長の長い光）の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.63\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$（$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$）とする。

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$、電気量 $-e$（$e>0$）の電子が、静止している電気量 $+e$ の陽子のまわりを、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からの静電気力（クーロン力）だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、プランク定数を $h$ として、電子の運動は量子条件
$$2\pi r\cdot mv=nh(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $v$ は電子の速さ、$n$ は量子数である。

量子数 $n=2$ の定常状態にある電子の速さ $v$ を、$k$, $e$, $h$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している陽子（電気量 $+e$）を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からのクーロン力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、電子の速さを $v$、プランク定数を $h$ として、電子は量子条件
$$mvr=\frac{nh}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす軌道だけを運動できるものとする。

量子数 $n=3$ の軌道を電子が 1 周する時間は、量子数 $n=1$ の軌道を電子が 1 周する時間の何倍か。