原子の問題

ボーアの水素原子模型では、量子数 $n$（$n=1,2,3,\dots$）の定常状態にある電子のエネルギーは、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$$
と表される。電子が高いエネルギー準位からより低いエネルギー準位へ移るとき、そのエネルギー差に等しいエネルギーをもつ光子が 1 個放出される。

電子が $n=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列、$n=1$ の準位へ移るときに放出される光の系列をライマン系列という。バルマー系列の光のうち最も波長が長いものの波長を ${\lambda }_B$、ライマン系列の光の波長の下限（いくらでも高い準位から $n=1$ へ移るときの波長の極限値）を ${\lambda }_L$ とする。比 $\frac{{\lambda }_B}{{\lambda }_L}$ を求めよ。

水素原子のエネルギー準位は、正の定数 $E_0$ を用いて
$$E_n=-\frac{E_0}{n^2}(n=1,2,3,\cdots )$$
と表される。電子が高いエネルギー準位から $n=2$ の準位へ移るときに放出される光の系列をバルマー系列という。バルマー系列の光のうち、波長が最も長い光の波長を、プランク定数 $h$、真空中の光の速さ $c$、$E_0$ を用いて表せ。

水素原子のエネルギー準位は、量子数を $n(n=1,2,3,\dots )$ として
$$E_n=-\frac{13.6}{n^2}[\text{eV}]$$
で表される。電子が $n=3$ の状態から $n=2$ の状態へ移るとき、水素原子は光子を 1 個放出する。この光（バルマー系列で最も波長の長い光）の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.63\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$（$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$）とする。

ボーアの水素原子模型を考える。原子核（陽子）は静止しているとみなし、無限遠を静電気力による位置エネルギーの基準とする。電子の運動エネルギーと静電気力による位置エネルギーの和を電子のエネルギーとすると、量子数 $n$（$n$ は正の整数）の状態の電子のエネルギーは
$$E_n=-\frac{2{\pi }^2{k}^{2}m{e}^4}{h^2}\cdot \frac{1}{n^2}$$
と表される。ここで $k$ はクーロンの法則の比例定数、$m$ は電子の質量、$e$ は電気素量、$h$ はプランク定数である。基底状態（$n=1$）のエネルギーは $E_1=-13.6\text{eV}$ である。

電子が $n=3$ の状態にある水素原子をイオン化する（電子を原子核から無限遠まで引き離す）のに必要な最小のエネルギーは何 eV か。有効数字 2 桁で答えよ。

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。