宇宙物理・宇宙論の問題

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$、半径 $R$ の静止した恒星を考える。中心からの距離 $r$ における密度は
$$\rho (r)={\rho }_c\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)(0\le r\le R)$$
で与えられる（${\rho }_c$ は定数）。恒星内部の圧力 $P$ は、単原子分子理想気体のガス圧 $P_g$ と放射圧 $P_r$ の和 $P=P_g+P_r$ であり、ガス圧の割合 $\beta =P_g/P$（$0<\beta \le 1$）は恒星内部のいたるところで一定であるとする。単位体積あたりの内部エネルギーは、ガスについては $\frac{3}{2}{P}_g$、放射については $3P_r$ とする。表面 $r=R$ で圧力は $0$ とし、回転・磁場は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

重力ポテンシャルエネルギーと内部エネルギー（ガスと放射）の和として定義される恒星の全エネルギー $E$ を、$G,M,R,\beta$ を用いて表せ。

半径 $R$ の球対称な星があり、その密度は星の内部のどこでも一定値 ${\rho }_0$ であるとする。星は静水圧平衡にあり、中心からの距離 $r$ における圧力 $P(r)$ は
$$\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho (r)}{r^2},M(r)={\int }_0^{r}4\pi r^{\prime 2}\rho (r^{\prime })d{r}^{\prime }$$
を満たす。ここで $G$ は万有引力定数、$M(r)$ は半径 $r$ の球の内側にある質量である。星の表面 $r=R$ で圧力は $0$ とする。このとき、星の中心 $r=0$ での圧力 $P_c$ を $G$, ${\rho }_0$, $R$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$（現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$）、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の質量密度を $\rho (t)$、万有引力定数を $G$、光速を $c$ とすると、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}(k\text{は定数})$$
に従い、物質の質量は保存されるので $\rho a^3$ は一定である。現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）、臨界密度を ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の密度パラメータ ${\Omega }_0=\frac{\rho (t_0)}{{\rho }_c}$ は ${\Omega }_0>1$ を満たすとする。

この宇宙は $a=0$ の状態（ビッグバン）から膨張を始め、最大まで膨張したのち収縮に転じ、再び $a=0$ の状態（ビッグクランチ）に至る。ビッグバンからビッグクランチまでの時間 $t_{\text{life}}$ を、$H_0$, ${\Omega }_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する初期宇宙を考える。$k_B=\hslash =c=1$ の単位系を用いる。温度 $T$ の熱平衡にある質量の無視できる（相対論的な）粒子種のエネルギー密度 $\rho$ とエントロピー密度 $s$ は、内部自由度を $g$ として
$$\rho =\frac{{\pi }^2}{30}{g}_{\mathrm{eff}}{T}^4,s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\mathrm{eff}}{T}^3$$
で与えられる。ここで、ボース粒子では $g_{\mathrm{eff}}=g$、フェルミ粒子では $g_{\mathrm{eff}}=\frac{7}{8}g$ である（化学ポテンシャルは $0$ とする）。

ある仮想的な宇宙では、ニュートリノが他の粒子と相互作用しなくなった（脱結合した）時点で、次の粒子が同じ温度 $T$ の熱平衡にあり、すべて相対論的であった。
- 光子（$g=2$）
- 電子と陽電子（あわせて $g=4$ のフェルミ粒子）
- 中性の実スカラー粒子 $\varphi$（自身が反粒子、$g=1$ のボース粒子）
- 3 世代のニュートリノと反ニュートリノ（1 世代あたり、ニュートリノと反ニュートリノがそれぞれ $1$ つのヘリシティ状態をもち、あわせて $g=2$ のフェルミ粒子）

脱結合の後、宇宙の温度が下がると、電子・陽電子と $\varphi$ は光子との熱平衡を保ったまま非相対論的になって消滅し、それらのエントロピーはすべて光子に移った。この過程で光子・電子・陽電子・$\varphi$ からなる系の共動体積あたりのエントロピーは保存するとする。一方、脱結合したニュートリノは質量が無視でき、その温度はスケール因子に反比例して下がり続ける。

電子・陽電子と $\varphi$ が十分に消滅した後の時刻における、3 世代分のニュートリノと反ニュートリノのエネルギー密度の和 ${\rho }_{\nu }$ と、光子（黒体放射）のエネルギー密度 ${\rho }_{\gamma }$ の比 $\frac{{\rho }_{\nu }}{{\rho }_{\gamma }}$ を、正確な形で求めよ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）とする。宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率を表す定数）。物質の質量は保存し、$\rho \propto a^{-3}$ である。

現在の物質の密度 ${\rho }_0$ を臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{cr}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ で割った密度パラメータを ${\Omega }_0=\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\mathrm{cr}}}$ とし、${\Omega }_0>1$ であるとする。この宇宙は $a=0$（ビッグバン）から膨張を始め、最大の大きさに達したのち収縮に転じ、再び $a=0$ に戻る。

ビッグバンから再び $a=0$ に戻るまでの時間を、$H_0$ と ${\Omega }_0$ を用いて表せ。必要なら、正の定数 $A$, $B$ を用いた媒介変数表示 $a=A(1-\cos \eta )$, $t=B(\eta -\sin \eta )$（ビッグバンを $t=0$, $\eta =0$ とする）を用いてよい。