ビリアル定理

静水圧平衡の式に $4 π r^{3}$ をかけて部分積分した $3 \int P d V = - U$ （理想気体では $2 K + U = 0$ ）を使い、重力エネルギー $U = - \int \frac{GM ( r )}{r} d m$ と体積平均圧力 $⟨ P ⟩$ や平均温度の関係、中心圧力と平均圧力の比を求められる

前提

静水圧平衡（大学物理宇宙物理・宇宙論）
部分積分（数学III 積分法）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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説明

静水圧平衡にある星について、星全体の重力エネルギー $U$ と、内部の圧力を体積で足し合わせた量 $\int P d V$ のあいだに $3 \int P d V = - U$ という関係（ビリアル定理）が成り立つことを使う技能です。圧力分布を細かく解かなくても、質量と半径だけから星の体積平均圧力 $⟨ P ⟩$ や平均温度を見積もれます。単原子分子の理想気体からなる星では、熱運動の運動エネルギーの総和 $K$ を使って $2 K + U = 0$ と書け、星の内部温度の目安を与えます。

なぜそうしてよいのか

静水圧平衡の式 $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}$ は各半径での力のつり合いです。これを星全体にわたって「重みをつけて足す」と、星全体の量どうしの関係が得られます。重みとして $4 π r^{3}$ を選ぶのがこつで、両辺に $4 π r^{3}$ をかけて中心 $r = 0$ から表面 $r = R$ まで積分します。

右辺は $- \int_{0}^{R} \frac{GM ( r )}{r} 4 π r^{2} ρ d r$ です。半径 $r$ の薄い球殻の質量は $d m = 4 π r^{2} ρ d r$ で、この球殻を無限遠から運んで内側の質量 $M (r)$ の上にかぶせるときの万有引力による位置エネルギーは、球殻の外の質量の影響を受けないので $- \frac{GM ( r )}{r} d m$ です。星を外側へ一枚ずつ積み上げていくと考えると、これを足した $U = - \int \frac{GM ( r )}{r} d m$ が星全体の重力エネルギーになります。つまり右辺はちょうど $U$ です。

左辺は部分積分で
$\int_{0}^{R} 4 π r^{3} \frac{d P}{d r} d r = [4 π r^{3} P]_{0}^{R} - \int_{0}^{R} 12 π r^{2} P d r$
となります。表面では $P (R) = 0$ 、中心では $r^{3} = 0$ なので境界の項は消えます。 $d V = 4 π r^{2} d r$ だから残りは $- 3 \int P d V$ です。よって $- 3 \int P d V = U$ 、すなわち $3 \int P d V = - U$ です。体積平均の圧力を $⟨ P ⟩ = \frac{1}{V} \int P d V$ （ $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ）と定めれば $⟨ P ⟩ = - \frac{U}{3 V}$ となり、 $U < 0$ なので $⟨ P ⟩ > 0$ です。

星の物質が単原子分子の理想気体なら、半径 $r$ の小さな体積 $d V$ の中にある物質量を $d n$ として $P d V = d n R T$ です（状態方程式）。単原子分子の理想気体では熱運動の運動エネルギーの総和が $\frac{3}{2} n R T$ なので、星全体の熱運動の運動エネルギーを $K$ とすると $\int P d V = \frac{2}{3} K$ 、したがって $2 K + U = 0$ です。重力で強く縛られている（ $∣ U ∣$ が大きい）星ほど、内部の圧力や温度が高くなければ支えられない、ということを表しています。

手順

密度分布から $M (r)$ と球殻の質量 $d m = 4 π r^{2} ρ d r$ を書く
重力エネルギーを積分で求める： $U = - \int_{0}^{R} \frac{GM ( r )}{r} 4 π r^{2} ρ d r$ （一様密度なら $U = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R}$ ）
ビリアル定理 $3 \int P d V = - U$ を使い、体積平均圧力を求める： $⟨ P ⟩ = - \frac{U}{3 V}$ 、 $V = \frac{4}{3} π R^{3}$
温度が必要なら、単原子分子の理想気体として $\int P d V = n R ⟨ T ⟩$ （ $⟨ T ⟩$ は物質量で重みをつけた平均温度）とし、 $3 n R ⟨ T ⟩ = - U$ から $⟨ T ⟩$ を求める
中心圧力との比が必要なら、静水圧平衡から求めた $P_{c}$ を $⟨ P ⟩$ で割る

例題

質量 $M$ 、半径 $R$ の一様な密度の球形の星が静水圧平衡にある。表面での圧力を $0$ 、万有引力定数を $G$ とする。この星の体積平均圧力 $⟨ P ⟩ = \frac{1}{V} \int P d V$ （ $V$ は星の体積）を、 $G, M, R$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1：密度は $ρ = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}$ で一定なので、 $M (r) = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}}$ 、 $d m = 4 π r^{2} ρ d r = \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r$ 。

手順 2：重力エネルギーは
$U = - \int_{0}^{R} \frac{G}{r} \cdot \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \cdot \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .$

手順 3：ビリアル定理 $3 \int P d V = - U$ より $\int P d V = \frac{G M ^{2}}{5 R}$ 。 $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ で割って
$⟨ P ⟩ = \frac{G M ^{2}}{5 R} \cdot \frac{3}{4 π R ^{3}} = \frac{3 G M ^{2}}{20 π R ^{4}} .$

答え: $\frac{3 G M ^{2}}{20 π R ^{4}}$

よくある誤り

係数 3 を落として $\int P d V = - U$ としてしまう誤り。部分積分で $\frac{d}{d r} (4 π r^{3}) = 12 π r^{2} = 3 \cdot 4 π r^{2}$ が出るので、正しくは $3 \int P d V = - U$ 、 $⟨ P ⟩ = - \frac{U}{3 V}$ 。
星の重力エネルギーを質点どうしの式で $U = - \frac{G M ^{2}}{R}$ としてしまう誤り。正しくは球殻ごとに $- \frac{GM ( r )}{r} d m$ を足し合わせ、一様密度なら $U = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R}$ 。
部分積分の境界項 $[4 π r^{3} P]_{0}^{R}$ を表面の圧力が $0$ でない場合にも捨ててしまう誤り。表面に外圧 $P (R) = P_{s}$ があるときは $3 \int P d V - 4 π R^{3} P_{s} = - U$ となる。
体積平均圧力を中心圧力と同じとしてしまう誤り。一様密度の星では中心圧力は $P_{c} = \frac{3 G M ^{2}}{8 π R ^{4}}$ で、 $\frac{P _{c}}{⟨ P ⟩} = \frac{5}{2}$ となり、中心のほうが平均より大きい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $M$ 、半径 $R$ の球対称な星があり、密度は星の内部のどこでも一様であるとする。星は静水圧平衡にあり、表面 $r = R$ で圧力は $0$ である。万有引力定数を $G$ とする。
星の重力エネルギーは
$U = - \int_{0}^{M} \frac{GM ( r )}{r} d m$
（ $M (r)$ は半径 $r$ の内側の質量、 $d m = 4 π r^{2} ρ d r$ ）で定義され、静水圧平衡からビリアル定理
$3 \int_{0}^{V} P d V = - U$
が成り立つ（ $V$ は星の体積、 $d V = 4 π r^{2} d r$ ）。このとき、星の体積平均圧力 $⟨ P ⟩ = \frac{1}{V} \int_{0}^{V} P d V$ を $G$ , $M$ , $R$ を用いて表せ。

ビリアル定理

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題