摩擦のある剛体のつり合い

床や壁・台の角に立てかけた棒などについて、垂直抗力・静止摩擦力をつり合いとモーメントの式から求め、 $f \leq μ N$ から静止を保つための静止摩擦係数の最小値を求められる

前提

剛体のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）

説明

床や壁、台の角に立てかけた棒（はしごなど）について、接点で受ける垂直抗力と静止摩擦力の大きさを求めます。そのうえで、棒がすべらずに静止を保つには静止摩擦係数がいくら以上必要かを求められるようになります。はしごを壁に立てかける角度の問題や、棒を床と台の角で支える問題で使います。

なぜそうしてよいのか

摩擦のある接点にはたらく静止摩擦力は、はじめから $μ N$ になるわけではありません。静止摩擦力は「物体が静止している」という条件から決まる力です。棒は大きさのある物体なので、静止している条件は「力のつり合い（水平・鉛直）」と「どの点のまわりでも力のモーメントの和が $0$ 」の二つです。これらを連立すると、垂直抗力 $N$ と静止摩擦力 $f$ が、重さや角度で表せます。

一方、静止摩擦力には上限（最大摩擦力） $μ N$ があります。棒が静止を保てるのは、つり合いに必要な摩擦力がこの上限を超えないとき、つまり $f \leq μ N$ のときです。 $N > 0$ なので、この式は $μ \geq \frac{f}{N}$ と書き直せます。したがって、静止を保つための静止摩擦係数の最小値は $\frac{f}{N}$ です。これは、棒がちょうどすべり出す直前（ $f = μ N$ ）の状態にあたります。

モーメントの式では、未知の力が多く集まる点を回転の中心に選びます。そこにはたらく力はうでの長さが $0$ になり、式に現れません。そのため、残った未知数をすぐに求められます。

手順

棒にはたらく力をすべて描く。重力 $m g$ は重心（一様な棒なら中点）に、垂直抗力は接する面に垂直に描く。静止摩擦力は、あらい接点だけに、面に沿って「すべろうとする向きと逆向き」に描く。なめらかな面には摩擦力を描かない
水平方向と鉛直方向の力のつり合いの式を立てる（例: 水平 $f = R$ 、鉛直 $N = m g$ ）
未知の力が多く集まる点（棒の下端など）のまわりで、力のモーメントのつり合いの式を立てる。うでの長さは、回転の中心から力の作用線までの距離で、 $L sin θ$ や $\frac{L}{2} cos θ$ の形になる
連立して、摩擦力 $f$ と垂直抗力 $N$ を与えられた文字で表す
静止を保つ条件 $f \leq μ N$ から $μ \geq \frac{f}{N}$ とし、最小値 $\frac{f}{N}$ を求める

例題

長さ $L$ 、質量 $m$ の一様な棒の下端 A をあらい水平な床に置き、上端 B をなめらかな鉛直な壁に立てかけた。棒は壁に垂直な鉛直面内にあり、床となす角は $6 0^{\circ}$ である。重力加速度の大きさを $g$ とする。棒がすべらずに静止しているために必要な、床と棒の間の静止摩擦係数 $μ$ の最小値を求めよ。

例題の解答

手順1（力を描く）: 棒にはたらく力は次の四つである。中点にはたらく重力 $m g$ （鉛直下向き）、A で床から受ける垂直抗力 $N$ （鉛直上向き）、A で床から受ける静止摩擦力 $f$ 、B で壁から受ける垂直抗力 $R$ （水平で壁から離れる向き）。壁はなめらかなので B に摩擦力はない。棒の下端は壁から離れる向きにすべろうとするので、 $f$ は壁に向かう水平な向きにはたらく。

手順2（力のつり合い）: 鉛直方向は $N = m g$ 、水平方向は $f = R$ である。

手順3（モーメントのつり合い）: 未知の力 $N$ と $f$ が集まる A のまわりで考える。B は床からの高さ $L sin 6 0^{\circ}$ にあり、水平な力 $R$ のうでの長さは $L sin 6 0^{\circ}$ である。 $R$ は棒を壁から離す向きに回そうとする。重力の作用線と A との水平距離は $\frac{L}{2} cos 6 0^{\circ}$ で、重力は棒を壁に押しつける逆向きに回そうとする。よって
$R \cdot L sin 6 0^{\circ} = m g \cdot \frac{L}{2} cos 6 0^{\circ}$
$R = \frac{m g cos 6 0 ^{\circ}}{2 sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{m g}{2 tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{m g}{2 3}$

手順4（ $f$ と $N$ を求める）: $f = R = \frac{m g}{2 3}$ 、 $N = m g$ である。

手順5（条件 $f \leq μ N$ ）: $\frac{m g}{2 3} \leq μ m g$ より $μ \geq \frac{1}{2 3} = \frac{3}{6}$ である。したがって最小値は $\frac{3}{6}$ である。

答え: $\frac{3}{6}$

よくある誤り

静止しているのに、はじめから摩擦力を $f = μ N$ と置いてしまう誤り。正しくは、 $f$ をつり合いの式から求め、そのあとで $f \leq μ N$ と比べる。 $f = μ N$ になるのは、すべり出す直前のときだけである。
モーメントのうでの長さに棒の長さ $L$ や $\frac{L}{2}$ をそのまま使ったり、 $sin$ と $cos$ を取り違えたりする誤り。正しくは、回転の中心から力の作用線までの距離を使う。例題では、壁からの水平な力のうでは $L sin θ$ 、重力のうでは $\frac{L}{2} cos θ$ である。
なめらかな壁の接点にも摩擦力を描いたり、床の摩擦力を壁から離れる向きに描いたりする誤り。正しくは、なめらかな面では摩擦力は $0$ である。床の摩擦力は、下端がすべろうとする向き（壁から離れる向き）と逆向き、つまり壁に向かう向きにはたらく。
壁もあらいときに、床の垂直抗力をいつも $N = m g$ としてしまう誤り。正しくは、壁からの摩擦力 $f^{'}$ が鉛直上向きにはたらく場合、鉛直方向のつり合いは $N + f^{'} = m g$ となる。力をすべて描いてから、つり合いの式を立て直す。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

摩擦のある剛体のつり合い

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