力と運動の問題

1. 棒にはたらく力を書き出す

• 重力 $mg$：鉛直下向き。一様な棒なので中点にはたらく。
• 床からの垂直抗力 $N$：点 $\mathrm{A}$ に鉛直上向き。
• 床からの静止摩擦力 $f$：点 $\mathrm{A}$ に水平。壁がなめらかなので、壁からの力は壁に垂直、つまり壁から離れる向きの水平な力になる。これとつり合うように、摩擦力は壁に近づく向きにはたらく。
• 壁からの垂直抗力 $R$：点 $\mathrm{B}$ に水平で、壁から離れる向き。

2. 力のつり合い

棒は静止しているので、合力は $0$ である。

$$\text{鉛直方向：}N=mg(1)$$
$$\text{水平方向：}f=R(2)$$

3. 力のモーメントのつり合い

未知の力 $N$ と $f$ が集まる点 $\mathrm{A}$ のまわりで考える。こうすると、$N$ と $f$ のモーメントは $0$ になる。

• 重力 $mg$ のうでの長さは、$\mathrm{A}$ から中点までの水平距離 $\frac{L}{2}\cos 60^{\circ }$ である。
• $R$ のうでの長さは、$\mathrm{B}$ の床からの高さ $L\sin 60^{\circ }$ である。

二つのモーメントは回転の向きが逆なので、和が $0$ になる条件から

$$R\cdot L\sin 60^{\circ }=mg\cdot \frac{L}{2}\cos 60^{\circ }$$

$$R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}L=mg\cdot \frac{L}{4}\text{より}R=\frac{mg}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}mg(3)$$

$(2)$ から、$f=\frac{\sqrt{3}}{6}mg$ である。

4. すべらない条件

静止摩擦力は最大摩擦力 $\mu N$ をこえられないので、$f\le \mu N$ が成り立つ必要がある。$(1)$ と $(3)$ を代入すると

$$\frac{\sqrt{3}}{6}mg\le \mu mg\text{より}\mu \ge \frac{\sqrt{3}}{6}$$

よって、$\mu$ の最小値は $\frac{\sqrt{3}}{6}$ である。

棒が床となす角を $\theta =60^{\circ }$ とする。棒にはたらく力は、重心での重力 $mg$（下向き）、床からの垂直抗力 $N$（上向き、点A）、床からの静止摩擦力 $f$（水平、壁に近づく向きと逆、点A）、壁からの垂直抗力 $R$（水平、壁から離れる向き、点B）である。

力のつり合い：
鉛直方向：$N=mg$
水平方向：$f=R$

点Aまわりの力のモーメントのつり合い：
重力のモーメントは $mg\cdot \frac{L}{2}\cos \theta$、壁からの抗力のモーメントは $R\cdot L\sin \theta$ である。
$RL\sin \theta =mg\frac{L}{2}\cos \theta$
よって $R=\frac{mg}{2\tan \theta }$ となる。

$\theta =60^{\circ }$ のとき $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ より $R=\frac{mg}{2\sqrt{3}}$、したがって $f=\frac{mg}{2\sqrt{3}}$。

すべらない条件は $f\le \mu N$ なので
$\mu \ge \frac{f}{N}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

検算：$\sqrt{3}/6\approx 0.289$。角度が大きいほど（棒が立つほど）必要な $\mu$ は小さくなるので妥当である。45°では $\mu =0.5$ となり、60°ではそれより小さくなることと整合する。

最小値は $\mu =\frac{\sqrt{3}}{6}$。