力と運動の問題

棒にはたらく力は、次の 4 つである。
- 重力 $mg$（鉛直下向き。一様な棒なので中点にはたらく）
- 糸の張力 $T$（$\mathrm{B}$ にはたらき、棒に垂直で斜め上向き）
- 床からの垂直抗力 $N$（$\mathrm{A}$ にはたらき、鉛直上向き）
- 床からの静止摩擦力 $f$（$\mathrm{A}$ にはたらき、水平）

棒は静止しているので、剛体のつり合いの条件「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」がどちらも成り立つ。

(1) A のまわりの力のモーメントのつり合い

$N$ と $f$ は $\mathrm{A}$ にはたらくので、$\mathrm{A}$ のまわりのモーメントは $0$ である。張力 $T$ は棒に垂直なので、うでの長さは $L$。重力のうでの長さは、$\mathrm{A}$ から中点までの水平距離 $\frac{L}{2}\cos 60^{\circ }=\frac{L}{4}$ である。よって
$$T\cdot L=mg\cdot \frac{L}{4}\text{したがって}T=\frac{mg}{4}$$

(2) 張力の分解

棒は床と $60^{\circ }$ をなすので、棒に垂直な張力は水平と $30^{\circ }$ をなす（棒から遠ざかる水平の向きと鉛直上向きのあいだ）。
- 水平成分: $T\cos 30^{\circ }=\frac{mg}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}mg$
- 鉛直成分: $T\sin 30^{\circ }=\frac{mg}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{mg}{8}$（上向き）

(3) 力のつり合い

水平方向: 張力の水平成分と静止摩擦力がつり合うので
$$f=\frac{\sqrt{3}}{8}mg$$
鉛直方向: $N+\frac{mg}{8}=mg$ より
$$N=\frac{7}{8}mg$$
（張力が上向きの成分をもつので、垂直抗力は $mg$ より小さい。）

(4) すべらない条件

静止摩擦力は最大摩擦力 $\mu N$ をこえられないので、$f\le \mu N$ が必要である。
$$\frac{\sqrt{3}}{8}mg\le \mu \cdot \frac{7}{8}mg\text{より}\mu \ge \frac{\sqrt{3}}{7}$$

よって、静止摩擦係数の最小値は $\frac{\sqrt{3}}{7}$ である。

棒の下端 A を原点とし、A から B へ向かう向きを水平から $60^{\circ }$ の向きにとる。糸の張力を $T$、垂直抗力を $N$、静止摩擦力を $f$ とする。

糸は棒に垂直で、棒を起こす側（斜め上）に引く。棒は水平から $60^{\circ }$ なので、糸の向きは水平から $30^{\circ }$ だけ上向きである。B 側から見て、棒の向きと糸の向きが $90^{\circ }$ をなすので、糸は水平方向の棒の傾き側とは反対向き（棒が傾いている向きと逆向き）に、水平から $30^{\circ }$ 上を向く。

水平右向きを正とし、棒が A から右上へ傾いているとする。このとき糸の力は左上向きで、水平成分は $T\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}T$（左向き）、鉛直成分は $T\sin 30^{\circ }=\frac{T}{2}$（上向き）である。

A まわりの力のモーメントのつりあい：糸の力は棒に垂直で、A からの距離が $L$ だから、モーメントは $TL$。重力 $mg$ は棒の中点にはたらき、腕の長さは $\frac{L}{2}\cos 60^{\circ }=\frac{L}{4}$ である。よって
$TL=mg\cdot \frac{L}{4}$ より $T=\frac{mg}{4}$。

水平方向のつりあい：$f=\frac{\sqrt{3}}{2}T=\frac{\sqrt{3}}{8}mg$（右向き）。

鉛直方向のつりあい：$N+\frac{T}{2}=mg$ より $N=mg-\frac{mg}{8}=\frac{7}{8}mg$。

すべらない条件は $f\le \mu N$ なので
$\mu \ge \frac{f}{N}=\frac{\sqrt{3}/8}{7/8}=\frac{\sqrt{3}}{7}$。

検算：$\frac{\sqrt{3}}{7}\approx 0.247$。$f/N=0.2165/0.875\approx 0.247$ で一致する。

よって $\mu$ の最小値は $\frac{\sqrt{3}}{7}$。