力と運動の問題

棒にはたらく力

棒にはたらく力は次の 4 つである。

• 重力 $mg$：鉛直下向き。一様な棒なので、中点にはたらく。
• 糸の張力 $T$：B にはたらき、棒に垂直な斜め上向き。
• 垂直抗力 $N$：A にはたらき、鉛直上向き。
• 静止摩擦力 $f$：A にはたらき、水平向き。

手順 1：A のまわりの力のモーメントのつり合い

未知の力 $N$ と $f$ はどちらも A にはたらく。A のまわりのモーメントを考えると、これらのうでの長さは $0$ になり、式から消える。

• 重力のうでの長さ：A から重力の作用線（鉛直線）までの距離である。棒の中点は A から棒にそって $\frac{L}{2}$ の位置にあるので、うでの長さは $\frac{L}{2}\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}L$ となる。モーメントは時計回りに $mg\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}L$ である。
• 張力のうでの長さ：張力は棒に垂直なので、うでの長さは AB $=L$ である。モーメントは反時計回りに $TL$ である。

つり合いの式は
$$TL=mg\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}L$$
となり、
$$T=\frac{\sqrt{3}}{4}mg$$
が求まる。

手順 2：鉛直方向の力のつり合い

棒は床と $30^{\circ }$ の角をなす。棒に垂直な張力は、鉛直方向と $30^{\circ }$ の角をなす。したがって、張力の鉛直上向きの成分は
$$T\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}mg\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}mg$$
である。棒は静止しているので、鉛直方向の力はつり合う。
$$N+\frac{3}{8}mg=mg$$
よって
$$N=\frac{5}{8}mg$$

（参考：水平方向のつり合いから、摩擦力の大きさは $f=T\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}mg$ となる。）

棒の下端 A のまわりの力のモーメントのつりあいと、鉛直方向の力のつりあいを使う。

糸の張力を $T$ とする。糸は棒に垂直で斜め上向きだから、鉛直上向きとのなす角は、棒と床のなす角と同じ $30^{\circ }$ である。

1. A のまわりのモーメントのつりあい
重力 $mg$ は棒の中点にはたらく。A からの水平距離は $\frac{L}{2}\cos 30^{\circ }$ なので、モーメントは $mg\cdot \frac{L}{2}\cos 30^{\circ }$ である。
張力は棒に垂直で、腕の長さは $L$ なので、モーメントは $TL$ である。
垂直抗力と摩擦力は A を通るのでモーメントは 0 である。
よって $TL=mg\frac{L}{2}\cos 30^{\circ }$ より $T=\frac{\sqrt{3}}{4}mg$。

2. 鉛直方向のつりあい
張力の鉛直成分は $T\cos 30^{\circ }$ である。
$N+T\cos 30^{\circ }=mg$ より
$N=mg-\frac{\sqrt{3}}{4}mg\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=mg-\frac{3}{8}mg=\frac{5}{8}mg$。

検算として水平方向を見る。張力の水平成分は $T\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}mg$ で、これを打ち消す摩擦力が床からはたらく。床はあらいので矛盾しない。

答え: $N=\frac{5}{8}mg$