力と運動の問題

剛体のつり合いの条件は「力のつり合い（水平・鉛直成分）」と「力のモーメントのつり合い」の両方です。これを連立して求めます。

1. 棒にはたらく力

• 重力 $mg$：鉛直下向きで、一様な棒なので中点（$\mathrm{A}$ から $\frac{l}{2}$ の位置）にはたらく。
• 糸の張力 $T$：$\mathrm{B}$ から $\mathrm{C}$ の向き（棒と $30^{\circ }$ をなす斜め上向き）。水平成分は壁の向きに $T\cos 30^{\circ }$、鉛直成分は上向きに $T\sin 30^{\circ }$。
• ちょうつがいから受ける力：向きがわからないので、水平成分 $H$（壁から離れる向きを正）と鉛直成分 $V$（上向きを正）に分けておく。

2. モーメントのつり合い（点 $\mathrm{A}$ のまわり）

未知の $H$, $V$ は $\mathrm{A}$ にはたらくので、$\mathrm{A}$ のまわりのモーメントは $0$ になり、式から消えます。張力の水平成分 $T\cos 30^{\circ }$ も作用線が $\mathrm{A}$ を通るのでモーメントは $0$ です。

重力のモーメント（時計回り）：$mg\times \frac{l}{2}$

張力の鉛直成分のモーメント（反時計回り）：$T\sin 30^{\circ }\times l$

つり合うので
$$T\sin 30^{\circ }\times l=mg\times \frac{l}{2}$$
$$\frac{1}{2}Tl=\frac{1}{2}mgl\text{より}T=mg$$

3. 水平方向の力のつり合い

ちょうつがいからの水平成分 $H$ と、張力の水平成分 $T\cos 30^{\circ }$（壁の向き）がつり合うので
$$H=T\cos 30^{\circ }=mg\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$$

$H>0$ なので、ちょうつがいから受ける力の水平成分は壁から離れる向きで、その大きさは $\frac{\sqrt{3}}{2}mg$ です。

（参考：鉛直方向のつり合い $V+T\sin 30^{\circ }=mg$ から $V=\frac{1}{2}mg$ も求まります。）

棒は水平で、Aは壁のちょうつがい、BはAから水平に距離 $l$ の位置にある。糸はBからAの真上の点Cへ張られ、糸と棒のなす角は $30^{\circ }$ である。

糸の張力を $T$ とする。Aのまわりの力のモーメントのつりあいを考える。
- 重力 $mg$ は棒の中心（Aから $l/2$）に作用するので、モーメントの大きさは $mg\cdot \frac{l}{2}$。
- 張力の鉛直成分は $T\sin 30^{\circ }$ で、Aからの腕の長さは $l$ なので、モーメントの大きさは $T\sin 30^{\circ }\cdot l$。

つりあいの式は
$T\sin 30^{\circ }\cdot l=mg\cdot \frac{l}{2}$
より
$T\cdot \frac{1}{2}=\frac{mg}{2}$
よって $T=mg$。

水平方向の力のつりあいを考える。糸はBから壁側（Aの方向）へ引くので、張力の水平成分は壁向きで大きさ $T\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$。
ちょうつがいから受ける力の水平成分を $H$ とすると、壁から離れる向きに $H$ となり、
$H=T\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$。

検算：鉛直方向では、ちょうつがいの力の鉛直成分を $V$ とすると $V+T\sin 30^{\circ }=mg$ より $V=mg/2$。Bを通る水平軸のまわりのモーメントでも、$V\cdot l=mg\cdot l/2$ となり $V=mg/2$ で一致する。

したがって水平成分の大きさは $\frac{\sqrt{3}}{2}mg$。