力と運動の問題

棒にはたらく力は次の 3 つである。
- 重力 $mg$（鉛直下向き、棒の中点にはたらく）
- 糸の張力 $T$（$\mathrm{B}$ から $\mathrm{C}$ の向き、棒と $30^{\circ }$）
- ちょうつがいから受ける力（水平成分 $N_x$、鉛直成分 $N_y$ とおく。壁から離れる向きを $N_x$ の正、鉛直上向きを $N_y$ の正とする）

棒は静止しているので、剛体のつり合いの条件「合力が $0$」「任意の点のまわりの力のモーメントの和が $0$」がともに成り立つ。

(1) モーメントのつり合い（点 $\mathrm{A}$ のまわり）
ちょうつがいから受ける力は $\mathrm{A}$ にはたらくので、$\mathrm{A}$ のまわりのモーメントは $0$ になり、式から消える。張力を棒に平行な成分 $T\cos 30^{\circ }$ と垂直な成分 $T\sin 30^{\circ }$ に分けると、平行な成分の作用線は $\mathrm{A}$ を通るのでモーメントは $0$。よって
$$T\sin 30^{\circ }\times L-mg\times \frac{L}{2}=0$$
$$\frac{1}{2}TL=\frac{1}{2}mgL\text{より}T=mg$$

(2) 水平方向の力のつり合い
張力の水平成分 $T\cos 30^{\circ }$ は壁に向かう向きなので
$$N_x-T\cos 30^{\circ }=0\text{より}{N}_x=mg\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$$

(3) 鉛直方向の力のつり合い
$$N_y+T\sin 30^{\circ }-mg=0\text{より}{N}_y=mg-\frac{1}{2}mg=\frac{1}{2}mg$$

(4) ちょうつがいから受ける力の大きさ
$$\sqrt{N_x^2+N_y^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(mg{)}^2+\frac{1}{4}(mg{)}^2}=mg$$
よって、求める力の大きさは $mg$ である。

点 A のまわりの力のモーメントのつりあいを考える。糸の張力を $T$ とする。糸は棒と $30^{\circ }$ をなすので、張力の鉛直成分は $T\sin 30^{\circ }$、水平成分は $T\cos 30^{\circ }$（A の向き）である。

$T\sin 30^{\circ }\cdot L=mg\cdot \frac{L}{2}$ より $\frac{T}{2}=\frac{mg}{2}$ なので $T=mg$。

ちょうつがいからの力の水平成分を $H$（壁から離れる向き）、鉛直成分を $V$（上向き）とする。

水平方向のつりあい: $H=T\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$

鉛直方向のつりあい: $V+T\sin 30^{\circ }=mg$ より $V=mg-\frac{mg}{2}=\frac{mg}{2}$

よって力の大きさは $\sqrt{H^2+V^2}=mg\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=mg$。

検算: 棒に働く力は、重力 $mg$（下向き）、張力 $T=mg$（B から C の向き）、ちょうつがいの力の3力である。重力と張力は B の鉛直上方に伸ばした線の上ではなく、作用線が交わる点を通る。重力の作用線は棒の中点の真下、張力の作用線は B と C を結ぶ直線である。三角形 ABC は A で直角、B で $30^{\circ }$ である。ちょうつがいの力の作用線は A と交点を結ぶので、3力のつりあいが成り立つ。重力と張力の大きさは等しく、鉛直線に対して張力は $60^{\circ }$ 傾いているので、その合力の大きさは $2mg\cos ((180^{\circ }-60^{\circ })/2)=mg$ となる。これはちょうつがいの力の大きさ $mg$ と一致する。