平面上の曲線の問題

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とおきます。

手順1：距離を式で表す

2点間の距離の公式より
$$\mathrm{PF}=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$$
点 $\mathrm{H}$ は $\mathrm{P}$ から直線 $x=4$ に下ろした垂線の足なので $\mathrm{H}(4,y)$ です。よって
$$\mathrm{PH}=|x-4|$$

手順2：比の条件を式にする

$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ より $2\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$ なので
$$2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x-4|$$
両辺とも $0$ 以上なので、両辺を2乗しても同値です。
$$4\{(x-1{)}^2+y^2\}=(x-4{)}^2$$

手順3：整理する

左辺は $4x^2-8x+4+4y^2$、右辺は $x^2-8x+16$ なので
$$4x^2-8x+4+4y^2=x^2-8x+16$$
$$3x^2+4y^2=12$$
両辺を $12$ で割ると
$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$

確かめ

この楕円は $a=2,b=\sqrt{3}$ で、焦点は $(\pm \sqrt{4-3},0)=(\pm 1,0)$ です。離心率は $e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{1}{2}$ で、準線は $x=\pm \frac{a}{e}=\pm 4$ です。問題の点 $\mathrm{F}(1,0)$、直線 $x=4$、比 $\frac{1}{2}$ と一致します。また $e=\frac{1}{2}<1$ なので、軌跡が楕円であることとも合っています。

したがって $A=4,B=3$ で、答えは $(A,B)=(4,3)$ です。

$\mathrm{P}(x,y)$ とおくと、$\mathrm{PF}=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$、$\mathrm{PH}=|x-4|$。
$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ より $2\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$。両辺を2乗して
$4\{(x-1{)}^2+y^2\}=(x-4{)}^2$
$4x^2-8x+4+4y^2=x^2-8x+16$
$3x^2+4y^2=12$
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

検算：焦点 $(1,0)$、離心率 $e=1/2$、$a=2$ より $c=ae=1$ で焦点が一致する。準線 $x=a/e=4$ も一致する。
また、点 $(2,0)$ では $\mathrm{PF}=1$、$\mathrm{PH}=2$ で比が $1:2$ となり条件を満たす。

よって $A=4,B=3$。