平面上の曲線の問題

手順1：条件を式で表す

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とおきます。

点 $\mathrm{F}(1,0)$ との距離は
$$\mathrm{PF}=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$$
です。$\mathrm{H}$ は $\mathrm{P}$ から直線 $x=4$ に下ろした垂線の足なので $\mathrm{H}(4,y)$ であり、
$$\mathrm{PH}=|x-4|$$
です。

$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ より $2\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$ なので
$$2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x-4|$$
が成り立ちます。

手順2：両辺を2乗して整理する

両辺は $0$ 以上なので、2乗しても同値です。
$$4\{(x-1{)}^2+y^2\}=(x-4{)}^2$$
$$4x^2-8x+4+4y^2=x^2-8x+16$$
$$3x^2+4y^2=12$$
両辺を $12$ で割ると
$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$
となります。

手順3：離心率で確かめる

距離の比 $e=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}=\frac{1}{2}$ は $0<e<1$ なので、軌跡は楕円になり、結果と一致します。実際、この楕円の焦点は $(\pm \sqrt{4-3},0)=(\pm 1,0)$ で $\mathrm{F}$ を含み、離心率は $\frac{\sqrt{4-3}}{2}=\frac{1}{2}$、焦点 $(1,0)$ に対応する準線は $x=\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}=\frac{4}{1}=4$ で、問題の条件と合っています。

したがって $a^2=4,b^2=3$ で、$a>0,b>0$ より $a=2,b=\sqrt{3}$。

答え：$(a,b)=(2,\sqrt{3})$

P(x,y) とすると PF²=(x-1)²+y²、PH=|x-4| である。PF:PH=1:2 より 2PF=PH なので 4PF²=PH² となり、4{(x-1)²+y²}=(x-4)² を得る。
展開すると 4x²-8x+4+4y²=x²-8x+16 なので 3x²+4y²=12、すなわち x²/4+y²/3=1 である。
よって a²=4, b²=3 で、a>0, b>0 より a=2, b=√3。
検算：焦点距離 c=√(4-3)=1 で F(1,0) と一致し、準線 x=a²/c=4 で ℓ と一致、離心率 e=c/a=1/2 で PF:PH=1:2 と整合する。また点 (2,0) では PF=1, PH=2 となり条件を満たす。