平面上の曲線の問題

座標平面上に点 $\mathrm{F}(2,0)$ と直線 $\ell :x=8$ がある。点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線を $\mathrm{PH}$ とする。$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は楕円
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$$
になる。$a,b$ の値を、組 $(a,b)$ の形でこの順に求めよ。

座標平面上に、点 $\mathrm{F}(1,0)$ と直線 $\ell :x=4$ がある。点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線を $\mathrm{PH}$ とする。$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、楕円
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$$
になる。$a,b$ の値を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

座標平面上に $2$ 点 $\mathrm{F}(\sqrt{13},0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-\sqrt{13},0)$ がある。$|\mathrm{PF}-\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }|=4$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、$a>0$, $b>0$ として双曲線
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
で表される。この双曲線の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。

座標平面上に $2$ 点 $\mathrm{F}(\sqrt{13},0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-\sqrt{13},0)$ がある。$|\mathrm{PF}-\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }|=4$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は、$a>0$, $b>0$ として双曲線 $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ で表される。この双曲線の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。

座標平面上に、点 $\mathrm{F}(1,0)$ と直線 $\ell :x=4$ がある。点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線を $\mathrm{PH}$ とする。$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は楕円になる。この楕円の方程式を
$$\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1$$
の形で表すとき、$A,B$ の値を求め、組 $(A,B)$ の形で答えよ。