平面上の曲線の問題

まず、点 $(2,1)$ が楕円上にあることを確かめる。
$$\frac{2^2}{8}+\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$
より、確かに楕円上の点である。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は
$$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$$
である。これは、楕円の方程式の $x^2$ を $x_{1}x$ に、$y^2$ を $y_{1}y$ におき換えた形になっている。

いま $a^2=8$, $b^2=2$, $(x_1,y_1)=(2,1)$ なので、接線の方程式は
$$\frac{2x}{8}+\frac{1\cdot y}{2}=1$$
すなわち
$$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$$
である。両辺に $4$ を掛けると
$$x+2y=4$$
これを $y$ について解くと
$$y=-\frac{1}{2}x+2$$
よって $m=-\frac{1}{2}$, $n=2$ であり、答えは $\left(-\frac{1}{2},2\right)$ である。

（確認）楕円の方程式の両辺に $8$ を掛けると $x^2+4y^2=8$ である。接線 $x+2y=4$ より $2y=-x+4$ なので、$4y^2=(2y{)}^2=(x-4{)}^2$ となる。これを代入すると
$$x^2+(x-4{)}^2=8$$
$$2x^2-8x+8=0$$
$$2(x-2{)}^2=0$$
となり、$x=2$ の重解をもつ。したがって、この直線は点 $(2,1)$ で楕円に接している。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ である。ここでは $a^2=8$, $b^2=2$, $(x_1,y_1)=(2,1)$ なので、$\frac{2x}{8}+\frac{y}{2}=1$、すなわち $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$。両辺に 4 をかけて $x+2y=4$、よって $y=-\frac{1}{2}x+2$。
確認: 点 $(2,1)$ は楕円上にある（$\frac{4}{8}+\frac{1}{2}=1$）。また、$y=-\frac{1}{2}x+2$ を楕円の式に代入すると $\frac{x^2}{8}+\frac{(-x/2+2{)}^2}{2}=1$。展開すると $\frac{x^2}{8}+\frac{x^2/4-2x+4}{2}=\frac{x^2}{8}+\frac{x^2}{8}-x+2=1$ となり、整理して $\frac{x^2}{4}-x+1=0$、すなわち $(x-2{)}^2=0$ で重解をもつ。したがって接線である。
ゆえに $m=-\frac{1}{2}$, $n=2$。