平面上の曲線の問題

手順1：楕円を媒介変数で表す

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点は $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ と表せます。ここでは $a=3$, $b=4$ なので、楕円上の点 $\mathrm{P}$ は
$$x=3\cos \theta ,y=4\sin \theta (0\leqq \theta <2\pi )$$
と表せます。実際に代入すると $\frac{9{\cos }^2\theta }{9}+\frac{16{\sin }^2\theta }{16}={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ となり、確かに楕円上にあります。また、$\theta$ が $0\leqq \theta <2\pi$ を動くと、$\mathrm{P}$ は楕円全体を動きます。

手順2：$x+y$ を $\theta$ の式にする

$$x+y=3\cos \theta +4\sin \theta =4\sin \theta +3\cos \theta$$

手順3：三角関数の合成

$\sqrt{4^2+3^2}=5$ より、
$$4\sin \theta +3\cos \theta =5\sin (\theta +\alpha )$$
と合成できます。ただし、$\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{4}{5}$, $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ を満たす角です。

手順4：最大値を求める

$\theta$ が $0\leqq \theta <2\pi$ を動くと、$\theta +\alpha$ は長さ $2\pi$ の区間全体を動きます。よって $\sin (\theta +\alpha )$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとり、最大値は $1$ です。したがって、$x+y$ の最大値は $5\times 1=5$ です。

（参考）最大となるのは $\theta +\alpha =\frac{\pi }{2}$ のときです。このとき $\cos \theta =\sin \alpha =\frac{3}{5}$, $\sin \theta =\cos \alpha =\frac{4}{5}$ なので、$\mathrm{P}\left(\frac{9}{5},\frac{16}{5}\right)$ です。実際に $\frac{9}{5}+\frac{16}{5}=5$ となります。

答え：$5$

$x=3\cos \theta ,y=4\sin \theta$ とおくと、$x+y=3\cos \theta +4\sin \theta =5\sin (\theta +\alpha )$（$\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{4}{5},\sin \alpha =\frac{3}{5}$ を満たす角）。よって最大値は $5$。\n\n別解：$x+y=k$ とおき、$y=k-x$ を $16x^2+9y^2=144$ に代入すると $25x^2-18kx+9k^2-144=0$。判別式 $D/4=81k^2-25(9k^2-144)=-144k^2+3600\ge 0$ より $k^2\le 25$、したがって $-5\le k\le 5$。最大値は $5$。\n\n検算：$k=5$ のとき $25x^2-90x+81=(5x-9{)}^2=0$ より $x=\frac{9}{5}$、$y=\frac{16}{5}$。$\frac{81/25}{9}+\frac{256/25}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ で楕円上にあり、$x+y=5$ となる。