平面上の曲線の問題

1. 点 $\mathrm{P}$ の軌跡

$\mathrm{P}(p,q)$ とおく。

(i) $p\ne \pm 2$ のとき。$\mathrm{P}$ を通る直線 $x=p$ は $C$ の接線ではないので、接線は $y=m(x-p)+q$ と表せる。これを $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に代入して整理すると
$$(1+4m^2)x^2+8m(q-mp)x+4(q-mp{)}^2-4=0$$
となる。接する条件は判別式が $0$ であることなので
$$16m^2(q-mp{)}^2-(1+4m^2)\{4(q-mp{)}^2-4\}=0$$
であり、これを整理すると $(q-mp{)}^2=4m^2+1$、すなわち
$$(p^2-4)m^2-2pqm+q^2-1=0(1)$$
を得る。2 本の接線の傾きは $(1)$ の 2 解であり、それらが直交する条件は解の積が $-1$ となることである。よって
$$\frac{q^2-1}{p^2-4}=-1⟺p^2+q^2=5$$
となる。逆に $p^2+q^2=5$ かつ $p\ne \pm 2$ ならば、解の積が負なので $(1)$ は異なる 2 つの実数解をもち、確かに直交する 2 本の接線が引ける。

(ii) $p=\pm 2$ のとき。接線の 1 本は $x=\pm 2$ である。これと直交する接線は水平な直線であり、$C$ の水平な接線は $y=\pm 1$ である。よって $\mathrm{P}=(\pm 2,\pm 1)$（複号任意）となり、これらも $p^2+q^2=5$ を満たす。

以上より、$\mathrm{P}$ は円 $x^2+y^2=5$ 全体を動く。

2. 直線 $\mathrm{AB}$ の方程式

$\mathrm{A}(x_1,y_1)$, $\mathrm{B}(x_2,y_2)$ とする。$\mathrm{A}$ における接線は $\frac{x_{1}x}{4}+y_{1}y=1$ であり、これが $\mathrm{P}$ を通るので $\frac{p{x}_1}{4}+q{y}_1=1$ が成り立つ。同様に $\frac{p{x}_2}{4}+q{y}_2=1$ も成り立つ。

これは、2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ がともに直線
$$\frac{p}{4}x+qy=1$$
上にあることを示している。$(p,q)\ne (0,0)$ なのでこれは確かに直線であり、直線 $\mathrm{AB}$ を表す。

3. 距離の最大・最小

原点と直線 $\mathrm{AB}$ の距離を $d$ とすると
$$d=\frac{1}{\sqrt{\frac{p^2}{16}+q^2}}$$
である。$q^2=5-p^2$ を代入すると
$$\frac{p^2}{16}+q^2=5-\frac{15}{16}{p}^2$$
となる。$p^2$ は $0\le p^2\le 5$ の範囲のすべての値をとるので、この式の値の範囲は
$$\frac{5}{16}\le 5-\frac{15}{16}{p}^2\le 5$$
である。したがって
$$\frac{1}{\sqrt{5}}\le d\le \frac{4}{\sqrt{5}}$$
となる。

• 最大値 $\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$ をとるのは $\mathrm{P}=(\pm \sqrt{5},0)$ のときである。このとき直線 $\mathrm{AB}$ は $x=\pm \frac{4}{\sqrt{5}}$ となる。
• 最小値 $\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ をとるのは $\mathrm{P}=(0,\pm \sqrt{5})$ のときである。このとき直線 $\mathrm{AB}$ は $y=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ となる。

よって、求める最大値と最小値は順に $\frac{4\sqrt{5}}{5}$, $\frac{\sqrt{5}}{5}$ である。

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に直交する 2 接線を引ける点 $\mathrm{P}(p,q)$ の軌跡は準円 $x^2+y^2=5$ である。実際、傾き $m$ の接線は $y=mx\pm \sqrt{4m^2+1}$ で、これが $\mathrm{P}$ を通るとすると $(q-mp{)}^2=4m^2+1$ すなわち $(p^2-4)m^2-2pqm+q^2-1=0$ となる。2 接線が直交するとき、2 つの傾きの積は $-1$ なので $\frac{q^2-1}{p^2-4}=-1$ となり、$p^2+q^2=5$ を得る。軸に平行な接線をもつ場合も、$p=\pm 2$, $q=\pm 1$ がこの円上にあるので含まれる。この円上の点は楕円の外部にある。

直線 $\mathrm{AB}$ は $\mathrm{P}$ の極線で、$\frac{px}{4}+qy=1$ である。原点との距離は
$d=\frac{1}{\sqrt{p^2/16+q^2}}$。

$q^2=5-p^2$ を代入すると $s=\frac{p^2}{16}+q^2=5-\frac{15}{16}{p}^2$ で、$0\le p^2\le 5$ より $\frac{5}{16}\le s\le 5$。

$d=1/\sqrt{s}$ なので、$s=\frac{5}{16}$ のとき最大 $\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$、$s=5$ のとき最小 $\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

検算：$\mathrm{P}(0,\sqrt{5})$ のとき極線は $y=1/\sqrt{5}$ で距離 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。$\mathrm{P}(\sqrt{5},0)$ のとき極線は $x=4/\sqrt{5}$ で距離 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。いずれも一致する。