平面上の曲線の問題

接線の傾きを求める

直線 $x=0$ は双曲線と共有点をもたないので、$\mathrm{A}$ を通る接線は $y=mx+k$ と表せる。これを $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ に代入して両辺を $3$ 倍すると
$$3x^2-(mx+k{)}^2=3$$
$$(3-m^2)x^2-2mkx-(k^2+3)=0(1)$$

$m^2=3$ のとき、$(1)$ は 1 次方程式となり共有点はただ 1 つである。しかしこの直線は漸近線に平行なので交わっているだけで、接線ではない。

よって $m^2\ne 3$ であり、接する条件は $(1)$ が重解をもつこと、すなわち判別式 $D$ が $0$ になることである。
$$\frac{D}{4}=m^2{k}^2+(3-m^2)(k^2+3)=3k^2+9-3m^2=0$$
これより $m^2=k^2+3$ である。$k>0$ なので $m^2\ne 3$ を満たし、$m=\pm \sqrt{k^2+3}$ となる。したがって接線はちょうど 2 本ある。

接点の座標を求める

重解は
$$x=\frac{mk}{3-m^2}=\frac{mk}{-k^2}=-\frac{m}{k}$$
である。このとき
$$y=m\cdot \left(-\frac{m}{k}\right)+k=\frac{k^2-m^2}{k}=-\frac{3}{k}$$
となる。よって、$s=\sqrt{k^2+3}$ とおくと、2 つの接点は
$$\left(\mp \frac{s}{k},-\frac{3}{k}\right)$$
である。

面積を $k$ で表す

$\mathrm{PQ}$ は $x$ 軸に平行で、長さは $\mathrm{PQ}=\frac{2s}{k}$ である。

$\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{PQ}$ までの距離は
$$k-\left(-\frac{3}{k}\right)=\frac{k^2+3}{k}$$
である。したがって面積 $S$ は
$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{k^2+3}}{k}\cdot \frac{k^2+3}{k}=\frac{(k^2+3{)}^{\frac{3}{2}}}{k^2}$$

最小値を求める

$u=k^2(u>0)$ とおき、$f(u)=\frac{(u+3{)}^{\frac{3}{2}}}{u}$ とする。
$$f^{\prime }(u)=\frac{\frac{3}{2}(u+3{)}^{\frac{1}{2}}\cdot u-(u+3{)}^{\frac{3}{2}}}{u^2}=\frac{(u+3{)}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{3}{2}u-u-3\right)}{u^2}=\frac{(u+3{)}^{\frac{1}{2}}(u-6)}{2u^2}$$

よって $0<u<6$ で $f^{\prime }(u)<0$、$u>6$ で $f^{\prime }(u)>0$ となり、$f(u)$ は $u=6$ で最小となる。最小値は
$$f(6)=\frac{9^{\frac{3}{2}}}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$
である。これは $k=\sqrt{6}$ のときに対応する。

以上より、求める最小値は $\frac{9}{2}$ である。

接点を $(x_1,y_1)$ とすると接線は $x{x}_1-\frac{y{y}_1}{3}=1$。これが $\mathrm{A}(0,k)$ を通るので $-\frac{k{y}_1}{3}=1$、すなわち $y_1=-\frac{3}{k}$。よって $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ はともに直線 $y=-\frac{3}{k}$ 上にある。

これを双曲線の式に代入すると $x^2=1+\frac{y^2}{3}=1+\frac{3}{k^2}$ なので、$x=\pm \sqrt{1+\frac{3}{k^2}}$ となる。$k>0$ のとき常に異なる 2 点が得られるので、2 本の接線は引ける。

底辺 $\mathrm{PQ}=2\sqrt{1+\frac{3}{k^2}}$、高さは $k+\frac{3}{k}$。したがって面積は
$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{\frac{k^2+3}{k^2}}\cdot \frac{k^2+3}{k}=\frac{(k^2+3{)}^{3/2}}{k^2}$。

$t=k^2>0$ とおき $f(t)=\frac{(t+3{)}^{3/2}}{t}$ とする。$\log f=\frac{3}{2}\log (t+3)-\log t$ を微分すると $\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{3}{2(t+3)}-\frac{1}{t}=\frac{t-6}{2t(t+3)}$。よって $t<6$ で減少、$t>6$ で増加し、$t=6$ で最小となる。

最小値は $f(6)=\frac{9^{3/2}}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。

検算：$k=\sqrt{6}$ のとき $y=-\frac{3}{\sqrt{6}}$、$x^2=\frac{3}{2}$ で、$\frac{3}{2}-\frac{9/6}{3}=1$ となり双曲線上にある。面積は $\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{9}{\sqrt{6}}=\frac{9}{2}$ となり一致する。