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平面上の曲線の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学C 平面上の曲線

座標平面上に、放物線 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ と楕円 $C_{2} : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ がある。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線（共通接線）をすべて考え、各共通接線について $C_{1}$ との接点と $C_{2}$ との接点をとる。これらの接点すべてを頂点とする四角形の面積を求めよ。

この問題で使うもの

2 次曲線の接線（説明と入口の問題）
2 次曲線と直線の共有点（説明と入口の問題）
放物線の方程式と焦点・準線（説明と入口の問題）
楕円の方程式と焦点（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

共通接線を $y = m x + n$ とおき、放物線に接する条件と楕円に接する条件をそれぞれ判別式で求めましょう。 $y$ 軸に平行な直線と $m = 0$ の場合が共通接線にならないことも確認しておきましょう。

ヒント 2

放物線に接する条件は $n = \frac{1}{m}$ 、楕円に接する条件は $n^{2} = 4 m^{2} + 3$ です。この 2 式から $n$ を消去しましょう。

ヒント 3

$4 m^{4} + 3 m^{2} - 1 = 0$ より $m = \pm \frac{1}{2}$ です。あとは各接線について、放物線との接点 $(\frac{1}{m ^{2}}, \frac{2}{m})$ と、楕円との接点（重解 $x = - \frac{4 mn}{4 m ^{2} + 3}$ から求める）を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{55}{2}

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解説を読む

共通接線の形

$y$ 軸に平行な直線 $x = k$ のうち $C_{1}$ に接するのは $x = 0$ だけであり、 $x = 0$ は $C_{2}$ と 2 点 $(0, \pm 3)$ で交わるので共通接線ではない。よって共通接線は $y = m x + n$ と表せる。 $m = 0$ のとき $y = n$ は $C_{1}$ とただ 1 点で交わるが接線ではないので、 $m \neq = 0$ である。

$C_{1}$ に接する条件

$y = m x + n$ を $y^{2} = 4 x$ に代入すると
$m^{2} x^{2} + (2 mn - 4) x + n^{2} = 0.$
$m \neq = 0$ なのでこれは 2 次方程式で、接する条件は判別式 $D_{1} = 0$ である。
$\frac{D _{1}}{4} = (mn - 2)^{2} - m^{2} n^{2} = 4 - 4 mn = 0 より n = \frac{1}{m} .$
このとき重解は $x = - \frac{mn - 2}{m ^{2}} = \frac{1}{m ^{2}}$ 、 $y = m \cdot \frac{1}{m ^{2}} + \frac{1}{m} = \frac{2}{m}$ なので、接点は $(\frac{1}{m ^{2}}, \frac{2}{m})$ である。

$C_{2}$ に接する条件

$y = m x + n$ を $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ に代入すると
$(4 m^{2} + 3) x^{2} + 8 mn x + 4 n^{2} - 12 = 0.$
判別式を $D_{2}$ とすると
$\frac{D _{2}}{4} = 16 m^{2} n^{2} - (4 m^{2} + 3) (4 n^{2} - 12) = 48 m^{2} - 12 n^{2} + 36.$
$D_{2} = 0$ より $n^{2} = 4 m^{2} + 3$ 。このとき接点の $x$ 座標は $x = - \frac{4 mn}{4 m ^{2} + 3}$ である。

共通接線を求める

$n = \frac{1}{m}$ を $n^{2} = 4 m^{2} + 3$ に代入して両辺に $m^{2}$ を掛けると
$4 m^{4} + 3 m^{2} - 1 = 0, (4 m^{2} - 1) (m^{2} + 1) = 0.$
$m$ は実数なので $m^{2} = \frac{1}{4}$ 、すなわち $m = \pm \frac{1}{2}$ である。

$m = \frac{1}{2}$ のとき $n = 2$ 。直線は $y = \frac{1}{2} x + 2$ 。
$C_{1}$ との接点は $(4, 4)$ 。
$C_{2}$ との接点は $x = - \frac{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2}{4} = - 1$ 、 $y = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ より $(- 1, \frac{3}{2})$ 。
$m = - \frac{1}{2}$ のとき $n = - 2$ 。直線は $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 。
$C_{1}$ との接点は $(4, - 4)$ 。
$C_{2}$ との接点は $x = - \frac{4 \cdot ( - \frac{1}{2} ) \cdot ( - 2 )}{4} = - 1$ 、 $y = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2}$ より $(- 1, - \frac{3}{2})$ 。

（確認： $\frac{1}{4} + \frac{( 3/2 ) ^{2}}{3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ なので、 $(- 1, \pm \frac{3}{2})$ は確かに $C_{2}$ 上にある。）

面積

4 点 $(4, 4)$ , $(- 1, \frac{3}{2})$ , $(- 1, - \frac{3}{2})$ , $(4, - 4)$ を頂点とする四角形は、 $y$ 軸に平行な 2 辺（長さ $8$ と $3$ ）をもち、その間の距離が $4 - (- 1) = 5$ の台形である。よって面積は
$\frac{( 8 + 3 ) \cdot 5}{2} = \frac{55}{2} .$

別解

放物線 $y^{2} = 4 x$ の接線は $y = m x + \frac{1}{m}$ ( $m \neq = 0$ ) と書ける。(垂直な接線 $x = 0$ は頂点で接するが、楕円とは交わらないので除く。)
楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ に $y = m x + c$ が接する条件は $c^{2} = 4 m^{2} + 3$ 。 $c = \frac{1}{m}$ を代入すると $\frac{1}{m ^{2}} = 4 m^{2} + 3$ 、すなわち $4 m^{4} + 3 m^{2} - 1 = 0$ 、 $(4 m^{2} - 1) (m^{2} + 1) = 0$ 。よって $m = \pm \frac{1}{2}$ 。
共通接線は $y = \frac{x}{2} + 2$ と $y = - \frac{x}{2} - 2$ 。

放物線との接点は $(\frac{1}{m ^{2}}, \frac{2}{m})$ なので $(4, 4)$ 、 $(4, - 4)$ 。
楕円との接点は $(- \frac{4 m}{c}, \frac{3}{c})$ なので、 $m = \frac{1}{2}, c = 2$ のとき $(- 1, \frac{3}{2})$ 、 $m = - \frac{1}{2}, c = - 2$ のとき $(- 1, - \frac{3}{2})$ 。
検算として $(- 1, \frac{3}{2})$ は $\frac{1}{4} + \frac{9/4}{3} = 1$ を満たし、直線 $y = \frac{x}{2} + 2$ 上にもある。

4点 $(4, \pm 4)$ 、 $(- 1, \pm \frac{3}{2})$ を頂点とする四角形は、 $x$ 軸に垂直な平行な2辺をもつ台形で、辺の長さは $8$ と $3$ 、間隔は $5$ 。
面積は $\frac{( 8 + 3 ) \cdot 5}{2} = \frac{55}{2}$ 。

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