平面上の曲線の問題

接点を求める。 接点を $(x_1,y_1)$ とすると、$C$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は
$$\frac{x_{1}x}{4}+y_{1}y=1$$
である。これが $\mathrm{P}(2,\sqrt{3})$ を通るので
$$\frac{x_1}{2}+\sqrt{3}{y}_1=1\text{すなわち}{x}_1=2-2\sqrt{3}{y}_1.$$
また $\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$ である。代入すると
$$(1-\sqrt{3}{y}_1{)}^2+y_1^2=1⟹4y_1^2-2\sqrt{3}{y}_1=0.$$
よって $y_1=0,\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、対応して $x_1=2,-1$ となる。

接点は $\mathrm{A}(2,0)$, $\mathrm{B}\left(-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ で、接線はそれぞれ $x=2$ と $-\frac{x}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}y=1$ である。

面積の分け方。 原点を $\mathrm{O}$ とする。求める部分の面積 $S$ は、四角形 $\mathrm{OAPB}$ の面積から、線分 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$ と弧 $\mathrm{AB}$（点 $\mathrm{P}$ 側の弧）で囲まれた部分の面積 $T$ を引いたものである。

四角形 $\mathrm{OAPB}$ の面積。 頂点は $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}(2,0)$, $\mathrm{P}(2,\sqrt{3})$, $\mathrm{B}\left(-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ である。対角線 $\mathrm{OP}$ で 2 つの三角形に分ける。
- $△\mathrm{OAP}$ の面積は $\frac{1}{2}\left|2\cdot \sqrt{3}-2\cdot 0\right|=\sqrt{3}$
- $△\mathrm{OPB}$ の面積は $\frac{1}{2}\left|2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-(-1)\cdot \sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$

したがって、四角形 $\mathrm{OAPB}$ の面積は $2\sqrt{3}$ である。

$T$ を求める。 弧 $\mathrm{AB}$ は $y=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$ $(-1\leqq x\leqq 2)$ である。この曲線と $x$ 軸、直線 $x=-1$ で囲まれた部分から、3 点 $(-1,0)$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{B}$ を頂点とする三角形（面積 $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$）を除いたものが $T$ である。よって
$$T=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^2\sqrt{4-x^2}dx-\frac{\sqrt{3}}{4}.$$
$x=2\sin t$ とおく。$x=-1$ のとき $t=-\frac{\pi }{6}$、$x=2$ のとき $t=\frac{\pi }{2}$ であり、$dx=2\cos tdt$ となる。
$${\int }_{-1}^2\sqrt{4-x^2}dx={\int }_{-\pi /6}^{\pi /2}4{\cos }^{2}tdt={\int }_{-\pi /6}^{\pi /2}2(1+\cos 2t)dt=[2t+\sin 2t{]}_{-\pi /6}^{\pi /2}$$
$$=(\pi +0)-\left(-\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{4}{3}\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
よって
$$T=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2}{3}\pi .$$

結論。
$$S=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi .$$

楕円を $x=2X$ と変換すると、$C$ は単位円 $X^2+y^2=1$、点 $\mathrm{P}$ は ${\mathrm{P}}^{\prime }(1,\sqrt{3})$ に移る。面積は変換後にちょうど $2$ 倍になる。

${\mathrm{P}}^{\prime }$ の極線は $X+\sqrt{3}y=1$ である。単位円との交点を求める。$X=1-\sqrt{3}y$ を $X^2+y^2=1$ に代入すると $4y^2-2\sqrt{3}y=0$ となり、$y=0$ または $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって接点は $(1,0)$ と $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ で、原点から見た角は $0$ と $120^{\circ }$ である。

${\mathrm{OP}}^{\prime }=2$、接線の長さは $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ である。四角形 $\mathrm{O}{T}_1{\mathrm{P}}^{\prime }{T}_2$ の面積は $2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$。

中心角 $120^{\circ }$ の扇形の面積は $\frac{\pi }{3}$。

求める部分は四角形から扇形を除いたものなので、変換後の面積は $\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$ となる。

元の図形の面積は $2\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)=2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}$。

検算: 接線 $X=1$ は ${\mathrm{P}}^{\prime }(1,\sqrt{3})$ を通り、$(1,0)$ で円に接する。元の座標では $x=2$ が $(2,0)$ で $C$ に接し、$\mathrm{P}(2,\sqrt{3})$ を通る。これは条件に合う。