平面上の曲線の問題

手順 1：放物線を $y^2=4px$ の形と比べる

$y^2=12x$ を $y^2=4px$ と比べると $4p=12$ なので、$p=3$、つまり $2p=6$ です。

手順 2：点が放物線上にあることを確かめる

$(x_1,y_1)=(12,12)$ とします。$y_1^2=144$、$12x_1=144$ なので、この点は放物線上にあります。

手順 3：接線の公式に代入する

放物線 $y^2=4px$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は
$$y_{1}y=2p(x+x_1)$$
です。$y_1=12$, $x_1=12$, $2p=6$ を代入すると
$$12y=6(x+12)$$
となります。

手順 4：$y=mx+n$ の形に直す

両辺を $12$ で割ると
$$y=\frac{1}{2}x+6$$
です。よって $m=\frac{1}{2}$, $n=6$ です。

確認（判別式）

$y=\frac{1}{2}x+6$ より $x=2y-12$ です。これを $y^2=12x$ に代入すると
$$y^2=24y-144$$
$$y^2-24y+144=0$$
$$(y-12{)}^2=0$$
となり、重解 $y=12$ をもちます。したがって直線は点 $(12,12)$ で放物線に接しています。

答えは $(m,n)=\left(\frac{1}{2},6\right)$ です。

放物線 $y^2=12x$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は $y_{1}y=6(x+x_1)$ である。点 $(12,12)$ を代入すると、まず点が放物線上にあることを確認する。$12^2=144$、$12\cdot 12=144$ なので放物線上にある。接線は $12y=6(x+12)$、すなわち $y=\frac{1}{2}x+6$ となる。
別の方法で検算する。$y^2=12x$ の両辺を $x$ で微分すると $2y{y}^{\prime }=12$ より $y^{\prime }=6/y$。$y=12$ のとき傾きは $\frac{1}{2}$。接線は $y-12=\frac{1}{2}(x-12)$ より $y=\frac{1}{2}x+6$。
さらに、$y=\frac{1}{2}x+6$ を $y^2=12x$ に代入すると $(\frac{1}{2}x+6{)}^2=12x$、$\frac{1}{4}{x}^2+6x+36=12x$、$x^2-24x+144=0$、$(x-12{)}^2=0$ となり重解なので接する。よって $(m,n)=(\frac{1}{2},6)$。