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平面上の曲線の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 平面上の曲線

放物線 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ の焦点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

2 次曲線の平行移動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（40 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「2 次曲線の平行移動」を使います。式を平方完成して $(y - q)^{2} = 4 p (x - r)$ の形に直し、どの放物線をどれだけ平行移動したものかを読み取りましょう。

ヒント 2

$y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ と平方完成できます。 $y^{2} = 4 p x$ の焦点は $(p, 0)$ です。

ヒント 3

式は $(y - 2)^{2} = 8 (x - 1)$ となり、放物線 $y^{2} = 8 x$ を $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものです。 $y^{2} = 8 x$ の焦点を同じだけ動かしましょう。

答えと解説

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(3, 2)

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解説を読む

方針： $y$ について平方完成して、 $(y - q)^{2} = 4 p (x - r)$ の形に直します。これは放物線 $y^{2} = 4 p x$ を平行移動したものなので、もとの放物線の焦点を同じだけ平行移動すれば焦点が求まります。

手順 1： $y$ の項を平方完成する

$y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$

なので、与えられた式は

$(y - 2)^{2} - 4 - 8 x + 12 = 0$

$(y - 2)^{2} = 8 x - 8$

$(y - 2)^{2} = 8 (x - 1)$

となります。

手順 2：もとの放物線と平行移動の量を読み取る

この式は、放物線 $y^{2} = 8 x$ の $x$ を $x - 1$ に、 $y$ を $y - 2$ におきかえたものです。したがって、この放物線は $y^{2} = 8 x$ を $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものです。

手順 3：もとの放物線の焦点を求める

$y^{2} = 8 x = 4 \cdot 2 \cdot x$ より $p = 2$ なので、 $y^{2} = 8 x$ の焦点は $(2, 0)$ です。

手順 4：焦点を平行移動する

焦点も同じだけ平行移動するので、求める焦点は

$(2 + 1, 0 + 2) = (3, 2)$

です。

（参考：頂点は $(0, 0)$ を移動した $(1, 2)$ 、準線は $x = - 2$ を移動した $x = - 1$ です。）

答え： $(3, 2)$

別解

式を平方完成する。 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ より $(y - 2)^{2} - 4 - 8 x + 12 = 0$ 、すなわち $(y - 2)^{2} = 8 x - 8 = 8 (x - 1)$ 。
これは $y^{2} = 4 p x$ の形で $4 p = 8$ より $p = 2$ 。頂点は $(1, 2)$ 、軸は直線 $y = 2$ （x軸に平行）で、 $x$ の正の向きに開く。
焦点は頂点から $x$ 方向に $p = 2$ 進んだ点なので $(1 + 2, 2) = (3, 2)$ 。
検算: 焦点 $(3, 2)$ と準線 $x = - 1$ からの距離が等しい点 $(x, y)$ について $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = (x + 1)^{2}$ 。展開すると $x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 4 y + 4 = x^{2} + 2 x + 1$ 、整理して $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ 。これは元の式と一致する。

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