2 次曲線の平行移動

$x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y + 1 = 0$ のような式を平方完成して標準形に直し、平行移動した 2 次曲線の中心（頂点）・焦点を求められる

前提

放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）

説明

$x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 8 y + 1 = 0$ のように 1 次の項（ $x$ や $y$ だけの項）を含む 2 次曲線の方程式を、平方完成して標準形に直します。すると、その曲線は「よく知っている楕円・双曲線・放物線を平行移動したもの」だとわかります。中心・頂点・焦点・準線・漸近線を、もとの曲線から読み取って平行移動するだけで求められます。

なぜそうしてよいのか

曲線 $F (x, y) = 0$ を $x$ 軸方向に $s$ 、 $y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動した曲線を考えます。移動後の曲線上の点 $(X, Y)$ は、もとの曲線上の点 $(X - s, Y - t)$ を動かしてできた点です。したがって $(X, Y)$ が移動後の曲線上にあることは、 $F (X - s, Y - t) = 0$ が成り立つことと同じです。文字を $x, y$ に戻すと、移動後の曲線の方程式は $F (x - s, y - t) = 0$ です。2 次関数のグラフで $y = a (x - s)^{2} + t$ が $y = a x^{2}$ の平行移動だったのと同じ仕組みです。

たとえば $\frac{( x - s ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - t ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ を、 $(y - t)^{2} = 4 p (x - s)$ は放物線 $y^{2} = 4 p x$ を、それぞれ $x$ 軸方向に $s$ 、 $y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動した曲線です。

平行移動では、点どうしの距離も、点と直線の距離も変わりません。そのため、焦点や準線は「距離の条件」を保ったまま一緒に動きます。中心・頂点・焦点の座標には $(s, t)$ を加え、準線や漸近線も同じだけ動かせばよいのです。漸近線なら $y = \pm \frac{b}{a} x$ が $y - t = \pm \frac{b}{a} (x - s)$ になります。

手順

$x$ を含む項と $y$ を含む項をそれぞれまとめる。 $x^{2}$ や $y^{2}$ に係数があれば、その係数でくくる。例: $4 y^{2} + 8 y = 4 (y^{2} + 2 y)$
それぞれを平方完成する。くくった係数を掛け忘れないこと。例: $4 (y^{2} + 2 y) = 4 (y + 1)^{2} - 4$
定数を右辺に移し、必要なら両辺を割って標準形にする。 $\frac{( x - s ) ^{2}}{a ^{2}} \pm \frac{( y - t ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ や $(y - t)^{2} = 4 p (x - s)$ の形にする
$x - s$ を $x$ に、 $y - t$ を $y$ に置き換えた原点中心（原点が頂点）の曲線を考え、その焦点・頂点・準線・漸近線を求める
それらを $x$ 軸方向に $s$ 、 $y$ 軸方向に $t$ だけ平行移動する。点は座標に $(s, t)$ を加え、直線は $x$ を $x - s$ に、 $y$ を $y - t$ に置き換える

例題

放物線 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ の焦点の座標を求めよ。

例題の解答

【手順1・2】 $y$ を含む項をまとめて平方完成すると、 $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ です。よって方程式は $(y - 2)^{2} - 4 - 8 x + 12 = 0$ となります。
【手順3】定数を移項して整理すると $(y - 2)^{2} = 8 x - 8$ 、すなわち $(y - 2)^{2} = 8 (x - 1)$ です。これは $(y - t)^{2} = 4 p (x - s)$ の形で、 $s = 1, t = 2$ です。
【手順4】もとの放物線は $y^{2} = 8 x = 4 \cdot 2 \cdot x$ なので $p = 2$ です。焦点は $(2, 0)$ 、準線は $x = - 2$ 、頂点は原点です。
【手順5】これを $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動します。焦点は $(2 + 1, 0 + 2) = (3, 2)$ です。（頂点は $(1, 2)$ 、準線は $x = - 1$ になります。確認すると、頂点 $(1, 2)$ から焦点までの距離 $2$ と、準線までの距離 $2$ が等しくなっています。）
答え: 焦点 $(3, 2)$

答え: $(3, 2)$

よくある誤り

$(x - 1)^{2}$ を見て「 $x$ 軸方向に $- 1$ 移動」としてしまう誤り。正しくは、 $(x - s)^{2}$ の形なら移動量は $+ s$ です。 $(x - 1)^{2}$ なら $+ 1$ 、 $(y + 1)^{2} = (y - (- 1))^{2}$ なら $y$ 軸方向に $- 1$ です。
係数でくくって平方完成したあと、引く定数に係数を掛け忘れる誤り。たとえば $4 y^{2} + 8 y = 4 (y + 1)^{2} - 1$ としてしまう。正しくは $4 (y^{2} + 2 y) = 4 {(y + 1)^{2} - 1} = 4 (y + 1)^{2} - 4$ です。
焦点を平行移動し忘れる誤り。たとえば $(y - 2)^{2} = 8 (x - 1)$ の焦点を、 $y^{2} = 8 x$ の焦点のまま $(2, 0)$ としてしまう。正しくは $(1, 2)$ だけ移動した $(3, 2)$ です。
標準形にする前に $a, b$ を読み取る誤り。たとえば $(x - 1)^{2} + 4 (y + 1)^{2} = 4$ で $a^{2} = 1, b^{2} = 4$ としてしまう。正しくは両辺を $4$ で割って $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{1} = 1$ とし、 $a^{2} = 4, b^{2} = 1$ と読みます。このとき焦点は $(1 \pm 3, - 1)$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

2 次曲線の平行移動

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