平面上の曲線の問題

手順1：$y$ について平方完成する。

$y$ を含む項を左辺に残し、残りを右辺に移すと
$$y^2-4y=8x-12$$
となります。左辺を平方完成すると $y^2-4y=(y-2{)}^2-4$ なので
$$(y-2{)}^2-4=8x-12$$
$$(y-2{)}^2=8x-8$$
$$(y-2{)}^2=8(x-1)$$
となります。

手順2：平行移動前の放物線を読み取る。

この式は、放物線 $y^2=8x$ を $x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものです。
（$x$ を $x-1$ に、$y$ を $y-2$ に置き換えた形になっているからです。）

手順3：移動前の焦点を求める。

$y^2=8x$ を $y^2=4px$ と比べると、$4p=8$ より $p=2$ です。よって、移動前の焦点は $(2,0)$ です。

手順4：焦点も同じだけ平行移動する。

焦点も $x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $2$ だけ移動するので、求める焦点は
$$(2+1,0+2)=(3,2)$$
です。

答え：$(3,2)$

式を平方完成する。$y^2-4y-8x+12=0$ より $(y-2{)}^2-4-8x+12=0$、すなわち $(y-2{)}^2=8x-8=8(x-1)$。
これは $y^2=4px$ で $4p=8$、$p=2$ の放物線を、$x$ 方向に $1$、$y$ 方向に $2$ 平行移動したものである。
y^2=8x の焦点は $(2,0)$ なので、移動後の焦点は $(2+1,0+2)=(3,2)$。
検算: 焦点 $(3,2)$、準線 $x=1-2=-1$。放物線上の点 $(1,2)$ について、焦点との距離は $2$、準線との距離は $1-(-1)=2$ で等しい。また点 $(3,6)$ は $(6-2{)}^2=16=8\cdot 2$ を満たす。焦点との距離は $4$、準線との距離は $3-(-1)=4$ で等しい。よって正しい。