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平面上の曲線の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 平面上の曲線

放物線 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ の焦点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

2 次曲線の平行移動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（40 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「2 次曲線の平行移動」を使います。 $y$ について平方完成して $(y - q)^{2} = 4 p (x - r)$ の形に直し、どの放物線をどれだけ平行移動したものかを読み取りましょう。

ヒント 2

$y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ です。これを使うと、式は $(y - 2)^{2} = 8 (x - □)$ の形になります。焦点も曲線と同じだけ平行移動します。

ヒント 3

$(y - 2)^{2} = 8 (x - 1)$ となるので、与えられた放物線は $y^{2} = 8 x$ を $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものです。 $y^{2} = 8 x$ の焦点は $(2, 0)$ です。

答えと解説

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(3, 2)

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解説を読む

手順 1： $y$ について平方完成する

$y$ を含む項を左辺に残し、それ以外を右辺に移すと
$y^{2} - 4 y = 8 x - 12$
左辺を平方完成すると、 $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ なので
$(y - 2)^{2} - 4 = 8 x - 12$
$(y - 2)^{2} = 8 x - 8$
$(y - 2)^{2} = 8 (x - 1)$

手順 2：もとになる放物線と平行移動の量を読み取る

この式は、放物線 $y^{2} = 8 x$ の $x$ を $x - 1$ に、 $y$ を $y - 2$ におき換えたものである。したがって、与えられた放物線は、放物線 $y^{2} = 8 x$ を $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものである。

手順 3：もとの放物線の焦点を求める

$y^{2} = 8 x$ を $y^{2} = 4 p x$ と比べると $4 p = 8$ より $p = 2$ である。よって、 $y^{2} = 8 x$ の焦点は $(2, 0)$ である。

手順 4：焦点も同じだけ平行移動する

曲線を平行移動すると、焦点も同じだけ移動する。点 $(2, 0)$ を $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ移動すると
$(2 + 1, 0 + 2) = (3, 2)$

よって、求める焦点の座標は $(3, 2)$ である。

別解

式を平方完成する。 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ より $(y - 2)^{2} - 4 - 8 x + 12 = 0$ 、すなわち $(y - 2)^{2} = 8 x - 8 = 8 (x - 1)$ 。

これは $Y^{2} = 4 pX$ の形で、 $X = x - 1$ 、 $Y = y - 2$ 、 $4 p = 8$ より $p = 2$ 。放物線 $y^{2} = 8 x$ を $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ 平行移動したものである。

$y^{2} = 8 x$ の焦点は $(2, 0)$ なので、平行移動すると焦点は $(3, 2)$ 。

検算：点 $(3, 2)$ から放物線上の点 $(1, 2)$ （頂点）までの距離は $2$ 。準線は $x = 1 - 2 = - 1$ で、頂点から準線までの距離も $2$ なので等しい。また頂点 $(1, 2)$ が式 $4 - 8 - 8 + 12 = 0$ を満たすことも確認できる。

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