平面上の曲線の問題

放物線 $x^2=4py$（$p\ne 0$）の焦点は $(0,p)$、準線は直線 $y=-p$ です。

与えられた放物線 $x^2=-6y$ をこの形と比べます。$y$ の係数を比べると
$$4p=-6$$
なので
$$p=-\frac{3}{2}$$
です。

したがって、焦点の座標は
$$\left(0,-\frac{3}{2}\right)$$
です。$p<0$ なので、この放物線は下に開いています。焦点も $y$ 軸上の原点より下にあります。また、準線は $y=\frac{3}{2}$ です。

（確認）焦点 $\mathrm{F}\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ と準線 $y=\frac{3}{2}$ から等しい距離にある点を $\mathrm{P}(x,y)$ とします。$\mathrm{P}$ から準線までの距離は $\left|y-\frac{3}{2}\right|$ なので
$$\sqrt{x^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2}=\left|y-\frac{3}{2}\right|$$
が成り立ちます。両辺を 2 乗すると
$$x^2+y^2+3y+\frac{9}{4}=y^2-3y+\frac{9}{4}$$
となり、整理すると $x^2=-6y$ です。もとの放物線と一致するので、答えは正しいとわかります。

答え：$\left(0,-\frac{3}{2}\right)$

放物線 $x^2=4py$ の焦点は $(0,p)$ である。$x^2=-6y$ を $4p=-6$ と比べると $p=-\frac{3}{2}$ なので、焦点は $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ である。
検算：焦点 $(0,-\frac{3}{2})$ と準線 $y=\frac{3}{2}$ からの距離が等しい点 $(x,y)$ の条件は $x^2+(y+\frac{3}{2}{)}^2=(y-\frac{3}{2}{)}^2$ である。これを整理すると $x^2+3y=-3y$、すなわち $x^2=-6y$ となり、元の式と一致する。