媒介変数の消去と変域

$x = sin θ + cos θ, y = sin θ cos θ$ のような表示から媒介変数を消去して $x, y$ の方程式を求め、 $x$ のとりうる範囲も合わせて曲線の範囲を決められる

前提

曲線の媒介変数表示（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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曲線の媒介変数表示（数学C 平面上の曲線）

説明

媒介変数 $θ$ や $t$ で表された点 $(x, y)$ について、媒介変数を含まない $x, y$ だけの関係式を作ると、点がどんな曲線の上を動くかがわかります。ただし、媒介変数の動ける範囲によって $x$ や $y$ がとれる値は限られることが多いため、得られた方程式に「 $x$ の変域」を添えて、曲線のどの部分を動くのかまで決めます。三角関数で表された点の軌跡を調べるときや、媒介変数表示の曲線を見慣れた式に直すときに使います。

なぜそうしてよいのか

媒介変数の消去とは、 $x$ と $y$ の両方に共通して入っている $θ$ を、恒等式などを使って取り除くことです。例えば $x = sin θ + cos θ$ を 2 乗すると $x^{2} = sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = 1 + 2 sin θ cos θ$ となり、 $sin θ cos θ$ は $y$ そのものなので $x^{2} = 1 + 2 y$ が得られます。こうして作った式は、点 $(x, y)$ が必ず満たす関係です。

しかし、この式を満たす点がすべて実際に現れるとは限りません。 $x = sin θ + cos θ$ は合成すると $x = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ なので、 $θ$ をどう選んでも $∣ x ∣ \leq 2$ です。放物線 $y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ 上でも $x = 2$ の点などには決して到達しません。だから、 $θ$ の範囲から $x$ のとりうる値を調べ、変域として付け加える必要があります。

逆に、その変域内の $x$ を 1 つ選ぶと、その $x$ になる $θ$ が存在し、そのとき $y$ は消去で得た式で $x$ から決まります。したがって「方程式＋ $x$ の変域」で、点が動く範囲をちょうど過不足なく表せます。

手順

手順1: $x$ と $y$ の式を見比べ、 $θ$ を消すのに使える関係を探す（ $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 、2 倍角の公式、 $x$ を 2 乗する、 $x$ の式を $cos θ$ などについて解いて $y$ に代入する、など）。
手順2: その関係を使って $θ$ を消去し、 $x, y$ だけの方程式を作る。
手順3: 与えられた $θ$ の範囲から、 $x$ のとりうる値の範囲を求める（三角関数の合成や単位円を使う）。
手順4: 方程式と $x$ の変域を合わせて、点の動く範囲（曲線のどの部分か）を答える。

例題

$θ$ が $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ の範囲を動くとき、 $x = sin θ + cos θ, y = sin θ cos θ$ で表される点 $(x, y)$ の描く図形を、 $θ$ を消去した方程式と $x$ の変域で表す。このときの $x$ の変域を求めよ。

例題の解答

手順1: $y = sin θ cos θ$ が、 $x$ を 2 乗したときに現れる項であることに注目する。 $x^{2} = sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = 1 + 2 sin θ cos θ$ である。

手順2: $sin θ cos θ = y$ を代入すると $x^{2} = 1 + 2 y$ となる。よって $y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ である。

手順3: 合成すると $x = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ となる。 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ より $\frac{π}{4} \leq θ + \frac{π}{4} \leq \frac{3 π}{4}$ である。この範囲で $\frac{2}{2} \leq sin (θ + \frac{π}{4}) \leq 1$ となり、両端の値も含めてその間の値をすべてとる。よって $1 \leq x \leq 2$ である。

手順4: 点 $(x, y)$ は放物線 $y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ の $1 \leq x \leq 2$ の部分を描く。両端は点 $(1, 0)$ と点 $(2, \frac{1}{2})$ である。求める $x$ の変域は $1 \leq x \leq 2$ である。

答え: $1 \leq x \leq 2$

よくある誤り

方程式 $y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ だけを答えて、放物線全体としてしまう誤り。正しくは、 $θ$ がすべての実数を動くときでも $- 2 \leq x \leq 2$ という変域が付き、放物線の一部になる。
$x = sin θ + cos θ$ の範囲を、 $sin θ$ と $cos θ$ の最大値・最小値を別々に足して $- 2 \leq x \leq 2$ としてしまう誤り。 $sin θ$ と $cos θ$ は同時に $1$ にならない。正しくは合成して $x = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ とし、 $- 2 \leq x \leq 2$ とする。
$θ$ の範囲が制限されているのに、それを無視して変域を求めてしまう誤り。例えば $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ で $- 2 \leq x \leq 2$ とするのは誤り。正しくは $θ + \frac{π}{4}$ の範囲を調べて $1 \leq x \leq 2$ とする。
$x = \frac{1}{cos θ}, y = tan θ$ （ $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ ）を $x^{2} - y^{2} = 1$ にして、双曲線全体としてしまう誤り。この範囲では $cos θ > 0$ なので $x \geq 1$ となる。正しくは、双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ の右側の部分（ $x \geq 1$ ）である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

媒介変数の消去と変域

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