平面上の曲線の問題

媒介変数の消去

$x=\cos \theta +\sin \theta$ の両辺を 2 乗すると
$$x^2={\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\sin }^2\theta =1+2y$$
となる。よって
$$y=\frac{x^2-1}{2}$$
である。

$x$ のとり得る値の範囲

三角関数の合成により
$$x=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$
である。$0\leqq \theta <2\pi$ のとき $\frac{\pi }{4}\leqq \theta +\frac{\pi }{4}<\frac{9}{4}\pi$ であり、この範囲で $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとる。したがって $x$ のとり得る値の範囲は
$$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$$
である。

$x+2y$ を $x$ で表す

$$x+2y=x+(x^2-1)=x^2+x-1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$$

これを $f(x)$ とおき、$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ における最大値と最小値を求める。

最小値

軸 $x=-\frac{1}{2}$ は区間 $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ に含まれる。よって最小値は
$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}$$
である。このとき $y=\frac{\frac{1}{4}-1}{2}=-\frac{3}{8}$ となる。

最大値

区間の両端の値を比べる。軸から遠いのは $x=\sqrt{2}$ の側である。
- $f(\sqrt{2})=2+\sqrt{2}-1=1+\sqrt{2}$
- $f(-\sqrt{2})=2-\sqrt{2}-1=1-\sqrt{2}$

したがって最大値は $1+\sqrt{2}$ である。これは $\theta =\frac{\pi }{4}$ のときで、$\mathrm{P}\left(\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)$ となる。

以上より、最大値は $1+\sqrt{2}$、最小値は $-\frac{5}{4}$ である。

$x=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\pi /4)$ より $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$。また $x^2=1+2\sin \theta \cos \theta$ なので $y=\frac{x^2-1}{2}$。

よって $x+2y=x+x^2-1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$ となる。

$x$ の範囲 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ で考える。

最小値は $x=-\frac{1}{2}$ のとき $-\frac{5}{4}$。この $x$ は範囲内にある。

最大値は軸 $x=-\frac{1}{2}$ から遠い端点 $x=\sqrt{2}$ のとき $2+\sqrt{2}-1=1+\sqrt{2}$。

比較として $x=-\sqrt{2}$ のとき $1-\sqrt{2}$ で、これは小さい。

検算: $\theta =\pi /4$ のとき $x=\sqrt{2}$, $y=1/2$ なので $x+2y=\sqrt{2}+1$。$x=-1/2$ となる $\theta$ も存在する。

したがって、最大値は $1+\sqrt{2}$、最小値は $-\frac{5}{4}$。