平面上の曲線の問題

手順 1：媒介変数 $\theta$ を消去する

$x=\sin \theta -\cos \theta$ の両辺を 2 乗すると
$$x^2={\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta$$
となる。${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ と $\sin \theta \cos \theta =y$ を用いると
$$x^2=1-2y$$
よって
$$y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$$
したがって $a=-\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$ である。

手順 2：$x$ のとりうる値の範囲を調べる

2 乗したため、$x$ がどの範囲を動くかは消去後の式からはわからない。もとの式 $x=\sin \theta -\cos \theta$ を三角関数の合成で変形すると
$$x=\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$$
となる。$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$ より
$$-\frac{\pi }{4}\leqq \theta -\frac{\pi }{4}\leqq \frac{\pi }{4}$$
である。この範囲で $\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$ は $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ から $\frac{\sqrt{2}}{2}$ までのすべての値をとるので
$$-\frac{\sqrt{2}}{2}\leqq \sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)\leqq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
両辺に $\sqrt{2}$ を掛けると
$$-1\leqq x\leqq 1$$
となる。したがって $p=-1,q=1$ である。

手順 3：まとめる

曲線 $C$ は放物線 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$ の $-1\leqq x\leqq 1$ の部分である。よって
$$(a,b,p,q)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1,1\right)$$

$x=\sin \theta -\cos \theta$ の両辺を2乗すると $x^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1-2y$ となる。よって $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$ であり、$a=-\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$。

xの範囲: $x=\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$。$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$ のとき $-\frac{\pi }{4}\leqq \theta -\frac{\pi }{4}\leqq \frac{\pi }{4}$ なので $-1\leqq x\leqq 1$。よって $p=-1,q=1$。

検算: $\theta =0$ のとき $(x,y)=(-1,0)$。$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$ で成り立つ。$\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき $(0,\frac{1}{2})$。$b=\frac{1}{2}$ で成り立つ。$\theta =\frac{\pi }{2}$ のとき $(1,0)$ で成り立つ。xは区間全体を連続的に動くので、$-1\leqq x\leqq 1$ の全体が現れる。